решение матриц методом крамера

решение матриц методом крамера

Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера, вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений методом Крамера, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Изменить названия переменных в системе

Заполните систему линейных уравнений:

Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений методом Крамера

  • В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
  • Для изменения в уравнении знаков с "+" на "-" вводите отрицательные числа.
  • Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
  • Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.

Например, линейное уравнение x 1 - 7 x 2 - x 4 = 2

будет вводится в калькулятор следующим образом:

Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений методом Крамера

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши "влево", "вправо", "вверх" и "вниз" на клавиатуре.
  • Вместо x 1, x 2, . вы можете ввести свои названия переменных.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить."

Целые числа и (или) Обыкновенные дроби

Целые числа и (или) Десятичные дроби

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Метод Крамера − это метод решения квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы. Такая система линейных уравнений имеет единственное решение.

Пусть задана следующая система линейных уравнений:

Заменим данную систему (1) эквивалентным ей матричным уравнением

Метод Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

  1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. $\Delta\neq 0$.
  2. Для каждой переменной $x_i$($i=\overline<1,n>$) необходимо составить определитель $\Delta_$, полученный из определителя $\Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
  3. Найти значения неизвестных по формуле $x_i=\frac<\Delta_>><\Delta>$ ($i=\overline<1,n>$).

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

Решить СЛАУ $\left\ <\begin& 3x_1+2x_2=-11;\\ & -x_1+5x_2=15. \end\right.$ методом Крамера.

Матрица системы такова: $ A=\left( \begin 3 & 2\\ -1 & 5 \end \right) $. Определитель этой матрицы $\Delta=\left| \begin 3 & 2\\ -1 & 5 \end\right|=3\cdot 5-2\cdot(-1)=17$. Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $\Delta_$ и $\Delta_$. Определитель $\Delta_$ получаем из определителя $\Delta=\left| \begin 3 & 2\\ -1 & 5 \end\right|$ заменой первого столбца (именно первый столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $\left(\begin -11\\ 15\end\right)$:

Аналогично, заменяя второй столбец в $\Delta=\left|\begin3&2\\-19amp;5\end\right|$ столбцом свободных членов, получим:

Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.

В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.

Решить СЛАУ $ \left\ <\begin& 2x_1+x_2-x_3=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=-7;\\ & x_1+x_3=-2. \end \right.$, используя метод Крамера.

Определитель системы: $\Delta=\left| \begin 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end\right|=4+2+2-3=5$. Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

Заменяя первый столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_$:

Заменяя второй столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_$:

Заменяя третий столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_$:

Учитывая все вышеизложенное, имеем:

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Решить СЛАУ $\left\ <\begin& 2x_1+3x_2-x_3=15;\\ & -9x_1-2x_2+5x_3=-7. \end\right.$ используя метод Крамера.

Матрица системы $ \left( \begin 2 & 3 & -1\\ -9 & -2 & 5 \end \right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:

Теперь матрица системы $ \left( \begin 2 & 3 \\ -9 & -2 \end \right) $ стала квадратной, и определитель её $\Delta=\left| \begin 2 & 3\\ -9 & -2 \end\right|=-4+27=23$ не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:

Ответ можно записать в таком виде: $\left\ <\begin& x_1=\frac<13x_3-&><23>;\\ & x_2=\frac<-x_3+121><23>;\\ & x_3\in R. \end\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.

В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ $\left\ <\begin& 2x_1-5x_2+10x_3=14;\\ & -4x_1+10x_2-7x_3=5. \end\right.$. Если перенести в правые части уравнений $x_3$, получим: $ \left\ <\begin&2x_1-5x_2=-10x_3+14;\\ &-4x_1+10x_2=7x_3+5. \end\right.$. Определитель данной системы $\Delta=\left| \begin 2 & -5\\ -4 & 10 \end\right|=20-20=0$. Однако если перенести в правые части уравнений переменную $x_2$, то получим систему $ \left\ <\begin&2x_1+10x_3=5x_2+14;\\ &-4x_1-7x_3=-10x_2+5. \end\right.$, определитель которой $\Delta=\left| \begin 2 & 10\\ -4 & -7 \end\right|=-14+40=26$ не равен нулю. Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере №3.

Решить СЛАУ $\left\ <\begin&x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\\ &2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \\ &-x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0. \end\right.$ методом Крамера.

Матрица системы $\left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \\ 2 & -6 & 1 & -4 & -2 \\ -1 & 4 & 5 & -3 & 0 \end\right)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

Правило Крамера. Метод обратной матрицы

Представляю Вашему вниманию вторую часть урока Как решить систему линейных уравнений? В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Настоятельно рекомендую скачать программу для автоматизированного решения систем по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Всегда приятно знать правильный ответ заранее, более того, программа позволит сразу обнаружить ошибку по ходу решения задачи, что значительно сэкономит время!

Решение системы по формулам Крамера

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы.

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:

и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:

,

Решить систему линейных уравнений

Решение: Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

;

;

Ответ: ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: « , значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:

, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Решение: Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .

Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:

– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.

Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Решить систему с матричным методом

Решение: Запишем систему в матричной форме:

, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле (её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения).

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение . Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу?

Обратную матрицу найдем по формуле:

, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу?

Теперь записываем обратную матрицу:

Ни в коем случае не вносим в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на уроке Действия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример.

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.

Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ:

Решить систему с помощью обратной матрицы.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!.

Пример 3:

Пример 6:

Пример 8: , . Вы можете посмотреть или скачать образец решения данного примера (ссылка ниже).

Примеры 10, 12:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com

Метод Крамера (конкретный пример)

Пример решения уравнения методом Крамера.

Вычислим главный определитель, основным способом для детерминанта третьего порядка:

Теперь подставим в эту формулу наши данные:

Видим, что он не равный нолю, теперь вычислим дополнительные определители, тем же методом:

Когда все определители найдены, то по формулам Крамера вычислим и неизвестные:

Спасибо вам большое за объяснение!!Теперь хоть комфортно буду себя чувствовать на паре)

Не знающему человеку(такому например как я )не очень понятно как вычислять дополнительные определители,так что приходится искать ещё и это на сайтах…

Как совет добавьте ещё и объяснение для определителей..

Я вот нашла тут,вроде понятно..—originweb.info/education/mathematics/higher_algebra/determinant.html

Для тех, кто не знает, там вверху есть предложение со ссылкой на мои видеоуроки. В них есть все подробности!

Здравствуйте, очень классный сайт, все понял. А то наш препод непонятно вообще объяснет…….Только вот не нашел решение матричным методом, подскажите есть ли у вас конкретный пример этого метода.

Сергей Шматко, сейчас с матричным методом есть только онлайн программа:

Но думаю, что она вам должна помочь, там много обьснений

Здравствуйте, я вот никак не пойму как мы вычисляли в 1 действии(вычисление гл.определителя),объясните пожалуйста

Костя, подпишитесь на мою рассылку здесь:

и вы получите видеоурок на котором рассказывается, как вычислить любой определитель!

Спасибо вам огромное. это самое понятное и подробное описание!!пишу здеь,но это относится вообще ко всем вашим видеороликам и объяснениям. очень приятно,что есть такие люди,которые вот так безвозмездно все подробно объясняют))) спасибо вам)))))

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (6 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

72 − 62 =

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

map