проекція вектора на вектор онлайн

Содержание

проекція вектора на вектор онлайн

Онлайн калькулятор. Проекція вектора на інший вектор.

Цей онлайн калькулятор дозволить вам дуже просто знайти проекцію одного вектора на інший вектор.

Скориставшись онлайн калькулятором, ви отримаєте детальне рішення вашого завдання, яке дозволить зрозуміти алгоритм вирішення задач на обчислення проекції вектора на вектор і закріпити пройдений матеріал.

Калькулятор для обчислення проекції вектора на інший вектор

Форма подання першого вектора:

Форма подання другого вектора:

Інструкція використання калькулятора для обчислення проекції вектора на інший вектор

Введення даних в калькулятор для обчислень проекції вектора на інший вектор

В онлайн калькулятор можна вводити числа або дроби. Більш детально читайте в правилах введення чисел.

Додаткові можливості калькулятора для обчислення проекції вектора на інший вектор

  • Між полями для введення можна переміщатися натискаючи клавіші "вліво" і "вправо" на клавіатурі.

Теорія. Проекція вектора на вектор

Вводити можна числа або дроби (-2.4, 5/7,.). Більш детально читайте в правилах введення чисел.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Копіювання матеріалів заборонено.

Ласкаво просимо на OnlineMSchool.

Мене звуть Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написаний весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи і калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Контрольні точки проекції вектора на вісь можна отримати перетином опущених з початку і кінця вектора перпендикулярів на цю вісь. Числова проекція вектора обчислюється через твір його довжини на cos кута між досліджуваним вектором і напрямком осі.

Проекція вектора на вісь визначається при вирішенні різних математичних і фізичних задач. Одним з окремих випадків поставлених завдань є визначення напрямних косинусів вектора, розміщеного в просторі в системі координат xyz.

В онлайн калькуляторі представлено дане рішення. Задаються координати кінцевої точки вектора, початкової вважається нульова точка системи, обчислюються напрямні косинуси вектора.

Приклад: для вектора з координатами a = (30, 40, 50) cos кутів між досліджуваним вектором і напрямками осей рівні cos α = 0.42, cos β = 0.57 і cos γ = 0.71.

Рішення задач з математики онлайн

Обчислення проекції вектора на вектор.

Цей калькулятор онлайн обчислює проекцію вектора на вектор. Вектора можуть бути задані в 2-х і 3-х мірному просторі.

Онлайн калькулятор для обчислення проекції вектора на вектор не просто дає відповідь завдання, він призводить докладний рішення з поясненнями, тобто відображає процес вирішення для того щоб проконтролювати знання з математики та / або алгебрі.

Цей калькулятор онлайн може бути корисний учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може бути вам дуже накладно наймати репетитора або купувати нові підручники? Або ви просто хочете якомога швидше зробити домашнє завдання з математики або алгебрі? В цьому випадку ви також можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання і / або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в області вирішуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення чисел, рекомендуємо з ними ознайомитися.

Причому, дробові числа можна вводити не тільки у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.

У десяткових дробах дрібна частина від цілої може відділятися як точкою так і коми.

Наприклад, можна вводити десяткові дроби так: 2.5 або так 1,3

В як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.

Можливо у вас включений AdBlock.

У цьому випадку вимкніть його та оновити сторінку.

Оскільки бажаючих вирішити задачу дуже багато, ваш запит поставлений в чергу.

Через кілька секунд рішення з'явиться нижче.

Зачекайте, будь ласка сек.

Скалярні і векторні величини

Багато фізичні величини повністю визначаються завданням деякого числа. Це, наприклад, обсяг, маса, щільність, температура тіла та ін. Такі величини називаються скалярними. У зв'язку з цим числа іноді називають скалярами. Але є і такі величини, які визначаються завданням не тільки числа, а й деякого напряму. Наприклад, при русі тіла слід вказати не тільки швидкість, з якою рухається тіло, а й напрямок руху. Точно так же, вивчаючи дію будь-якої сили, необхідно вказати не тільки значення цієї сили, а й напрямок її дії. Такі величини називаються векторними. Для їх опису було введено поняття вектора, що виявилося корисним для математики.

Будь-яка впорядкована пара точок А до В простору визначає спрямований відрізок, тобто відрізок разом із заданим на ньому напрямком. Якщо точка А перша, то її називають початком спрямованого відрізка, а точку В - його кінцем. Напрямком відрізка вважають напрямок від початку до кінця.

Спрямований відрізок називається вектором.

Будемо позначати вектор символом, причому перша буква означає початок вектора, а друга - його кінець.

Вектор, у якого початок і кінець збігаються, називається нульовим і позначається або просто 0.

Відстань між початком і кінцем вектора називається його довжиною і позначається або.

Вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарні вектори можуть бути спрямовані однаково або протилежно.

Нульовий вектор будемо вважати спрямованим однаково з будь-яким вектором; довжина його дорівнює нулю, тобто .

Тепер можна сформулювати важливе поняття рівності двох векторів.

Вектори і називаються рівними (), якщо вони колінеарні, однаково спрямовані і їх довжини рівні.

На рис. 1 зображені зліва нерівні, а праворуч - рівні вектори і. З визначення рівності векторів випливає, що якщо даний вектор перенести паралельно самому собі, то вийде вектор, рівний даному. У зв'язку з цим вектори в аналітичної геометрії називають вільними.

Нехай в просторі задані вісь і деякий вектор. Проведемо через точки А і В площині, перпендикулярні осі. Позначимо через А 'і В' точки перетину цих площин з віссю (див. Рисунок 2).

Проекцією вектора на вісь називається величина А'В 'спрямованого відрізка А'В' на осі. Нагадаємо, що

, якщо напрямок збігається c напрямком осі,

, якщо напрям протилежний напрямку осі,

Позначається проекція вектора на вісь так: \ (Пр_u \ vec \).

Проекція вектора на вісь дорівнює довжині вектора, помноженої на косинус кута між вектором і віссю, тобто

Нехай і задана якась вісь. Застосовуючи до кожного з цих векторів формулу теореми, отримуємо

Проекції вектора на осі координат

Нехай в просторі задані прямокутна система координат Oxyz і довільний вектор. Нехай, далі, \ (X = Пр_u \ overrightarrow, \; \; Y = Пр_u \ overrightarrow, \; \; Z = Пр_u \ overrightarrow \). Проекції X, Y, Z вектора на осі координат називають його координатами. При цьому пишуть

Хоч би якими були дві точки A (x1; y1; z1) І B (x2; y2; z2), Координати вектора визначаються наступними формулами:

Якщо вектор виходить з початку координат, тобто x2 = X, y2 = Y, z2 = Z, то координати X, Y, Z вектора рівні координатами його кінця:

З елементарної геометрії відомо, що квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів довжин трьох його вимірів. отже,

Позначимо через кути між вектором і осями координат. З формул проекції вектора на вісь і довжини вектора одержуємо

Зводячи в квадрат ліву і праву частини кожного з попередніх рівностей і підсумовуючи отримані результати, маємо

Лінійні операції над векторами і їх основні властивості

Дія віднімання векторів назад дії складання, тобто різницею векторів і називається вектор, який в сумі з вектором дає вектор (див. малюнок).

Визначивши суму двох векторів, можна знайти суму будь-якого числа даних векторів. Нехай, наприклад, дані три вектора. Склавши і, отримаємо вектор. Додавши тепер до нього вектор, отримаємо вектор

Геометричний сенс операції множення вектора на число можна виразити таким чином: якщо, то при множенні вектора на число вектор «розтягується» в раз, а якщо - «стискається» в раз. При вектор змінює напрямок на протилежне. На малюнку зображений випадок.

Якщо або, то твір вважаємо рівним нульовому вектору.

Використовуючи визначення множення вектора на число неважко довести, що якщо вектори і колінеарні і, то існує (і до того ж тільки одне) число таке, що

Основні властивості лінійних операцій

1. переместітельності властивість складання

2. сполучна властивості додавання

3. сполучна властивості множення

4. Розподільна властивість щодо суми чисел

5. Розподільна властивість щодо суми векторів

Ці властивості лінійних операцій мають фундаментальне значення, так як дають можливість виробляти над векторами звичайні алгебраїчні дії. Наприклад, в силу властивостей 4 і 5 можна виконувати множення скалярного многочлена на векторний многочлен «почленно».

Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їх проекцій на цю вісь, тобто

Теорему можна узагальнити на випадок будь-якого числа доданків.

При множенні вектора на число його проекція на вісь також множиться на це число, тобто \ (Пр_u \ lambda \ vec = \ lambda Пр_u \ vec \)

Якщо, то для будь-якого числа

Звідси легко виводиться умова коллинеарности двох векторів в координатах.

Справді, рівність рівносильно равенствам або

тобто вектори і колінеарні в тому і тільки в тому випадку, коли їх координати пропорційні.

Нехай вектори - одиничні вектори осей координат, т.e. , І кожен з них однаково спрямований з відповідною віссю координат (див. Малюнок). Трійка векторів називається базисом.

Має місце наступна теорема.

Будь-вектор може бути єдиним чином розкладений по базису, тобто представлений у вигляді

Книги (підручники) Реферати ЄДІ і ОГЕ тести онлайн Ігри, головоломки Побудова графіків функцій Орфографічний словник російської мови Словник молодіжного сленгу Каталог шкіл Росії Каталог ССУЗов Росії Каталог ВНЗ Росії сказати "Спасібо9quot; Список завдань Знаходження НОД і НОК Спрощення многочлена (множення многочленів) Розподіл многочлена на многочлен стовпчиком Обчислення числових дробів Рішення задач на відсотки Комплексні числа: сума, різниця, добуток і частку Системи 2-х лінійних рівнянь з двома змінними Рішення квадратного рівняння Виділення квадрата двочлена і розкладання на множники квадратного тричлена Рішення нерівностей Рішення систем нерівностей Побудова графіка квадратичної функції Побудова графіка дрібно-лінійної функції Рішення арифметич еской і геометричної прогресій Рішення тригонометричних, показових, логарифмічних рівнянь Обчислення меж, похідної, дотичній Інтеграл, первісна Рішення трикутників Обчислення дій з векторами Обчислення дій з прямими і площинами Площа геометричних фігур Периметр геометричних фігур Обсяг геометричних тел Площа поверхні геометричних тіл

Класифікація проекцій вектора

Види проекцій за визначенням проекція вектора

  1. Геометрична проекція вектора на вісь (вектор) називається вектор, початок якого A 'є проекція початку A на вісь (вектор), а кінець B' - проекція кінця B на ту ж вісь.
  2. Алгебраїчна проекція вектора на вісь (вектор) називається довжина вектора, взята зі знаком + або -, в залежності від того, чи має вектор той же напрямок, що і вісь (вектор).

Види проекцій по системі координат

  1. проекції на площині (система координат OX, OY). приклад:
  1. Геометрична проекція вектора є вектор (має напрямок).
  2. Алгебраїчна проекція вектора є число.

Теорема 2. Алгебраїчна проекція вектора на будь-яку вісь дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між віссю і вектором:

  1. проекція на вісь OX.
  2. проекція на вісь OY.
  3. проекція на вектор.

1. Питання: Чи може проекція вектора мати негативний знак. Відповідь: Так, проекцій вектора може бути негативною величиною. В цьому випадку, вектор має протилежний зміст (див. Як спрямовані вісь OX і вектор AB)

2. Питання: Чи може проекція вектора збігатися з модулем вектора. Відповідь: Так, може. В цьому випадку, вектори паралельні (або лежать на одній прямій).

3. Питання: Чи може проекція вектора дорівнювати нулю (нуль-вектор). Відповідь: Так, може. У цьому випадку вектор перпендикулярний відповідної осі (вектору).

Приклад 1. Вектор (рис. 1) утворює з віссю OX (вона задана вектором a) кут 60 о. Якщо OE є одиниця масштабу, то | b | = 4, так що.

Дійсно, довжина вектора (геометричної проекції b) дорівнює 2, а напрямок збігається з напрямком осі OX.

Приклад 2. Вектор (рис. 2) утворює з віссю OX (з вектором a) кут (a, b) = 120 o. Довжина | b | вектора b дорівнює 4, тому прab = 4 · cos120 o = -2.

Дійсно, довжина вектора дорівнює 2, а напрям протилежний напрямку осі.

Приклад 3. Нехай вектор b заданий через координати точок M (1; 1), N (4; 5).

Координати вектора: MN (4-1; 5-1) = MN (3, 4)

Тоді модуль вектора MN дорівнює:

Спрямовує вектор для осі OX дорівнює вектору M'N ', де координати точок M' (1; 0) N '(4; 0). Отже, вектор M'N 'має координати: x = 4-1, y = 0-0 = 0.

Приклад 4. Знайти проекцію вектора c на вектор d;

Знайдемо проекцію вектора AC на вектор BC

Приклад 5. Знайти проекцію інb(-2a + 4b)

Тоді -2a + 4b = -4m + 6n + 16m-4n = 12m + 2n

Знайдемо модуль вектора 4m-n.

а) Розглянемо трикутник зі сторонами a, b, c. По теоремі косинусів:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc ∙ cos (b, c), звідки

б) Розглянемо другий варіант вирішення.

Оскільки кут між векторами #&60;, Тобто 180 про, то вектори лежать на одній осі.

Таким чином, 4m-n = 4 * 1 - 1 = 3.

прb(-2a + 4b) = інb(12m + 2n) =

Проекція вектора на вектор в тривимірному просторі

Числова проекція вектора на інший вектор (В алгебраїчному сенсі) - це число, яке дорівнює відношенню скалярного твори цих векторів до довжини другого вектора.

Векторна проекція вектора на інший вектор (В геометричному сенсі) - це вектор з довжиною, що дорівнює відношенню скалярного твори цих векторів до довжини другого вектора, і з надсиланням другої вектора.

[Math] \ bar r_1 = (x_1, y_1, z_1) [/ math] - перший вектор;

[Math] \ bar r_2 = (x_2, y_2, z_2) [/ math] - другий вектор.

  • при r2= r1 отримуємо рівності
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (3 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

28 + = 32

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

map