метод Вієта Кардано рішення кубічного рівняння

метод Вієта Кардано рішення кубічного рівняння

Метод Вієта Кардано рішення кубічного рівняння

(C) Nikitine Valeri F. 2000,

Тут представлений алгоритм для розв'язання кубічного рівняння методом Вієта-Кардано. Програма написана для випадку дійсних коефіцієнтів (коріння можуть бути комплексними).

Кубічне рівняння записується у вигляді:

Для знаходження його коренів, в разі дійсних коефіцієнтів, спочатку обчислюються:

Далі, якщо R 2 <Q 3 , то рівняння має три дійсних кореня, обчислюється за формулою (Вієта):

У тому випадку, коли R 2 >= Q 3 , то дійсних коренів один (загальний випадок) або два (вироджені випадки). Крім дійсного кореня, є два комплексно-сполучених. Для їх знаходження обчислюються (формула Кардано):

Дійсний корінь буде:

У тому випадку, коли A = B, то комплексно-зв'язані коріння вироджуються в дійсний:

Формули Кардано і Вієта вимагають застосування спеціальних функцій, і в тому випадку, коли потрібно провести велику серію обчислень коренів кубічного рівняння з не дуже сильно змінними коефіцієнтами, швидшим алгоритмом є використання методу Ньютона або інших ітераційних методів (з перебуванням початкового наближення за формулами Кардано- Вієта).

Нижче розташована програма для знаходження коренів кубічного рівняння з дійсними коефіцієнтами.

Метод Вієта Кардано рішення кубічного рівняння

Методи вирішення кубічних рівнянь

Найбільш поширений метод вирішення кубічних рівнянь - метод перебору.

Спочатку шляхом перебору знайдемо один з коренів рівняння. Справа в тому, що кубічні рівняння завжди мають принаймні один дійсний корінь, причому цілий корінь кубічного рівняння з цілими коефіцієнтами є дільником вільного члена d. Коефіцієнти цих рівнянь зазвичай підібрані так, що шуканий корінь лежить серед невеликих цілих чисел, таких як: 0, ± 1, ± 2, ± 3 Тому ми будемо шукати корінь серед цих чисел і перевіряти його шляхом підстановки в рівняння. Імовірність успіху при такому підході дуже висока. Припустимо, що цей корінь.

Друга стадія рішення - це поділ многочлена на двочлен x - x1. Згідно з теоремою Безу це поділ без залишку можливо, і ми отримаємо в результаті многочлен другого ступеня, який треба прирівняти до нуля. Вирішуючи отримане квадратне рівняння, ми знайдемо (чи ні) залишилися два кореня.

Рішення двучленного кубічного рівняння

Двучленное кубічне рівняння має вигляд (2)

Це рівняння приводиться до вигляду діленням на коефіцієнт A, відмінний від нуля. Далі застосовується формула скороченого множення сума кубів:

З першої дужки знаходимо, а квадратний тричлен має лише комплексні корені.

Зворотні кубічні рівняння

Ще Одне кубічне рівняння має вигляд

A і B-коефіцієнти.

Очевидно, що x = -1 є коренем такого рівняння, а коріння отриманого квадратного тричлена легко знаходяться через дискримінант.

У загальному випадку, коріння кубічного рівняння знаходяться за формулою Кардано.

Для кубічного рівняння (1) знаходяться значення за допомогою підстановки: x = (2), і рівняння приводиться до вигляду:

неповне кубічне рівняння, в якому буде відсутній доданок містить другий ступінь.

Вважаємо, що рівняння має коефіцієнтами комплексні числа. Дане рівняння, завжди буде мати комплексні корені.

Позначимо один з таких коренів:. Введемо допоміжну невідому u і розглянемо многочлен f (u) =.

Позначимо корені цього многочлена через б і в, по теоремі Віетті (див. Стор. 8):

Підставами в рівняння (3), вираз (4), отримуємо:

C іншого боку з (5): (7)

Звідси випливає, тобто з формул (6), (7), що числа є корінням рівняння:

З останнього рівняння:

Два інших кореня,,, знаходяться за формулою:

Тригонометрична формула Вієта

Ця формула знаходить рішення наведеного кубічного рівняння, тобто рівняння виду

Очевидно, що будь-який кубічне рівняння можна привести до рівняння виду (4), просто поділивши його на коефіцієнт a. Отже, алгоритм застосування цієї формули:

3. а) Якщо, то обчислюємо

І наше рівняння має 3 корені (речових):

б) Якщо, то замінимо тригонометричні функції гіперболічними.

Тоді єдиний корінь (речовинний):

В) Якщо, то рівняння має менше трьох різних рішень:

Тут ми розглядаємо рішення кубічних рівнянь виду

Далі вважаємо, що - це дійсні числа.

Якщо вихідне рівняння має вигляд:

то розділивши його на, отримуємо рівняння виду (1) з коефіцієнтами

Рівняння (1) має три корені:, і. Один з коренів завжди дійсний. Дійсний корінь ми позначаємо як. Коріння і можуть бути або дійсними, або комплексно сполученими. Дійсні корені можуть бути кратними. Наприклад, якщо, то і - це дворазові коріння (або коріння кратності 2), а - простий корінь.

Нехай нам відомий один корінь кубічного рівняння (1). Позначимо відомий корінь як. Тоді розділивши рівняння (1) на, отримаємо квадратне рівняння. Вирішуючи квадратне рівняння, знайдемо ще два кореня і.

Для доказу скористаємося тим, що кубічний многочлен можна представити у вигляді:

Тоді, розділивши (1) на, отримуємо квадратне рівняння.

Приклади розподілу багаточленів представлені на сторінці

Рішення квадратних рівнянь розглянуто на сторінці

Якщо вихідне рівняння має вигляд:

і його коефіцієнти,,, - цілі числа, то можна спробувати знайти цілий корінь. Якщо це рівняння має цілий корінь, то він є дільником коефіцієнта. Метод пошуку цілих коренів полягає в тому, що ми знаходимо все подільники числа і перевіряємо, чи виконується для них рівняння (2). Якщо рівняння (2) виконується, то ми знайшли його корінь. Позначимо його як. Далі ділимо рівняння (2) на. Отримуємо квадратне рівняння. Вирішуючи його, знаходимо ще два кореня.

Приклади визначення цілих коренів дані на сторінці

Якщо в рівнянні (2),,, - цілі числа, причому, і цілих коренів немає, то можна спробувати знайти раціональні коріння, тобто коріння виду, де і - цілі.

Для цього помножимо рівняння (2) на і зробимо підстановку:

Далі шукаємо цілі корені рівняння (3) серед дільників вільного члена.

Якщо ми знайшли цілий корінь рівняння (3), то, повертаючись до змінної, отримуємо раціональний корінь рівняння (2):

Формули Кардано і Вієта для розв'язання кубічного рівняння

Якщо нам не відомий жоден корінь, і цілих коренів немає, то знайти коріння кубічного рівняння можна за формулами Кардано.

Розглянемо кубічне рівняння:

Після цього рівняння приводиться до неповного або наведеному виду:

Формула Кардано для неповного (наведеного) кубічного рівняння має вигляд:

За формулою Кардано, ми знаходимо три кореня величини. Потім, використовуючи формулу, знаходимо значення величини.

Після поділу кубічних коренів величини, формула Кардано приймає наступний вигляд:

При, для і потрібно вибирати дійсні корені, які автоматично пов'язані співвідношенням. При цьому ми отримаємо одне дійсне рішення і два комплексно сполучених і.

У цьому випадку ми маємо два кратних дійсних кореня. Якщо, то ми маємо три кратних кореня.

При ми маємо три дійсних кореня. При цьому і - комплексні. Тому рішення приводиться до тригонометричної формі, яка має назву формули Вієта:

Приклади рішень за формулами Кардано і Вієта

Вирішити кубічні рівняння:

І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев, Довідник з математики для інженерів і учнів втузів, «Лань9raquo ;, 2009.

Г. Корн, Довідник з математики для науковців та інженерів, 2012.

Автор: Олег Одинцов. Опубліковано: 30-04-2016 Змінено: 02-10-2016

Кубічні рівняння. Формула Кардано для вирішення кубічних рівнянь.

Вперше була опублікована в 1545 році італійським математиком Джироламо Кардано.

де члени p і q наведені нижче:

коли члени кубічного рівняння речовинні, то і Q дійсне число, а по його знаку можна встановити тип коренів кубічного рівняння.

коли Q > 0 у кубічного рівняння буде один речовинний корінь і два пов'язаних комплексних кореня.

Коли Q = 0 у рівняння один одноразовий речовинний корінь і один дворазовий корінь, або, в разі якщо p = q = 0, то отримуємо один триразовий речовинний корінь.

коли Q < 0 в кубічному рівнянні буде три речових кореня, але даний випадок детально не розглядається.

за формулою Кардано, коріння кубічного рівняння в канонічній формі дорівнюватимуть:

.

використовуючи формули Кардано, для всіх знайдених значень потрібно вибрати таке , для якого здійснюється необхідна вимога (Таке значення завжди є).

Коли шукане рішення кубічного рівняння дійсне число, то бажано віддавати перевагу речовим значенням .

Рішення кубічних рівнянь. Формула Кардано

Метою даного розділу є висновок формули Кардано для вирішення рівнянь третього ступеня (кубічних рівнянь)

де a0, a1, a2, a3 - довільні дійсні числа,

Висновок формули Кардано складається з двох етапів.

На першому етапі кубічні рівняння виду (1) наводяться до кубічним рівнянням, у яких відсутній член з другої ступенем невідомого. Такі кубічні рівняння називають тричлен кубічними рівняннями.

На другому етапі тричленні кубічні рівняння вирішуються за допомогою зведення їх до квадратних рівнянь.

Приведення кубічних рівнянь до тричленної увазі

Розділимо рівняння (1) на старший коефіцієнт a0 . Тоді воно набуде вигляду

де a, b, c - довільні дійсні числа.

Замінимо в рівнянні (2) змінну x на нову змінну y за формулою:

то рівняння (2) набуде вигляду

Якщо ввести позначення

то рівняння (4) набуде вигляду

де p, q - речові числа.

Рівняння виду (5) і є тричленна кубічними рівняннями, у яких відсутній член з другої ступенем невідомого.

Перший етап виведення формули Кардано завершений.

Зведення тричленних кубічних рівнянь до квадратних рівнянь

Будемо шукати рішення рівняння (5) у вигляді

де z - нова змінна.

то виконано рівність:

Отже, рівняння (5) переписується у вигляді

Якщо тепер рівняння (7) помножити на z 3, то ми отримаємо квадратне рівняння щодо z 3:

Рішення рівняння (8) має вигляд:

Відповідно до (6), звідси випливає, що рівняння (5) має два рішення:

У розгорнутій формі ці рішення записуються так:

Покажемо, що, незважаючи на здаються відмінності, рішення (10) і (11) збігаються.

З іншого боку,

і для вирішення рівняння (5) ми отримали формулу

яка і називається «Формула Кардано».

Зауваження. Оскільки у кожного комплексного числа, відмінного від нуля, існують три різних кубічних кореня, то, для того, щоб уникнути помилок при вирішенні кубічних рівнянь в області комплексних чисел, рекомендується використовувати формулу Кардано у вигляді (10) або (11).

Приклад рішення кубічного рівняння

Приклад. Вирішити рівняння

Рішення . Спочатку наведемо рівняння (13) до тричленної увазі. Для цього відповідно до формули (3) зробимо в рівнянні (13) заміну

Отже, рівняння (13) приймає вигляд

Тепер відповідно до формули (6) зробимо в рівнянні (15) ще одну заміну

то рівняння (15) набуде вигляду

Далі з (17) отримуємо:

Звідси за формулою (16) отримуємо:

Зауважимо, що таке ж, як і у формулі (18), значення вийшло б, якби ми використовували формулу

або використовували формулу

Далі з рівності (18) відповідно до (14) отримуємо:

Таким чином, ми знайшли у рівняння (13) речовинний корінь

Зауваження 1. У рівняння (13) інших речових коренів немає.

Зауваження 2. Оскільки довільне кубічне рівняння в комплексній області має 3 корені з урахуванням кратності, то до повного вирішення рівняння (13) залишається знайти ще 2 кореня. Ці корені можна знайти різними способами, зокрема, застосувавши варіант формули Кардано для області комплексних чисел. Однак застосування такого варіанту формули Кардано значно виходить за рамки курсу математики навіть спеціалізованих математичних шкіл.

На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ і ОГЕ з математики.

Запрошуємо школярів (можна разом з батьками) на безкоштовне тестування з математики, що дозволяє з'ясувати, які розділи математики і навички у вирішенні завдань є для учня «проблемнимі9raquo ;.

Запис по телефону (495) 509-28-10

Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ або ОГЕ з математики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (6 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

6 + 1 =

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

map