рішення квадратних рівнянь через дискримінант

Содержание

рішення квадратних рівнянь через дискримінант

Ми вже розібрали, як вирішувати квадратні рівняння. Тепер давайте більш детально розглянемо, що називають дискримінантом квадратного рівняння.

Повернемося до нашої формулою для знаходження коренів квадратного рівняння.

Вираз «b 2 - 4ac», яке знаходиться під коренем, прийнято називати дискримінантом і позначати буквою «D».

По-іншому, через дискримінант формулу знаходження коренів квадратного рівняння можна записати так:

За однією з версій термін «Дискримінант» походить від латинського discriminantis, що означає «відрізняє» або «розрізняє».

Залежно від знака «D» (дискримінанту) квадратне рівняння може мати два, один або жодного кореня. Розглянемо всі три випадки.

Рішення рівнянь через дискримінант

Будь-яке квадратне рівняння можна представити як

ax 2 + bx + c = 0, де a, b, c - це будь-які числа і a ≠ 0

Щоб перевірити кількість рішень цього рівняння використовується спеціальне вираз - дискриминант, які позначається, як D.

І більш того, через дискримінант легко шукати рішення квадратних рівнянь.

1. якщо D > 0, то в рівнянні є 2 кореня:

x1, 2 =

D = b 2 - 4ac = (-1) 2 + 4 * 1 * 2 = 1 + 8 = 9

Він явно більше нуля, тому в цьому рівнянні два кореня. Обчислимо їх з отриманого дискримінанту:

x1, 2 = = = 2; -1

2. Якщо D = 0, то в рівнянні єдиний корінь

x =

3. Якщо D < 0, то в рівнянні немає коренів.

Як вирішити квадратне рівняння через дискримінант і чверть дискримінанту

Напевно не у всіх виходить з легкістю вирішувати квадратні рівняння, але насправді це не так вже й складно! У цій інструкції я, як учениця, яка закінчила 9 клас, хочу поділиться досвідом.

  • папір
  • ручка / олівець і т.п. =)
  • мізки

По-перше, що ж таке квадратне рівняння? Квадратним рівнянням називається рівняння виду ax ^ 2 + bx + c = 0, де х - змінна, a, b і з - деякі числа, причому а не дорівнює нулю.

Щоб вирішити квадратне рівняння нам потрібно знати формулу його коренів, тобто, для початку, формулу дискримінанту квадратного рівняння. Виглядає вона наступним чином: D = b ^ 2-4ac. Можна вивести її самостійно, але зазвичай це не потрібно, просто запам'ятайте формулу (!) Вона буде вам дуже потрібна в подальшому. Так само є формула чверті дискримінанту, докладніше про неї трохи пізніше.

Візьмемо як приклад рівняння 3x ^ 2-24x + 21 = 0. Я вирішу його двома способами.

Спосіб 1. Дискримінант.

D>0, значить, рівняння має 2 корені

х1,2 = (-b / - корінь з D) / 2a (це формула коренів кв. рівняння, запам'ятайте її!)

Настав час згадати про формулу чверті дискримінанту, яка здатна здорово полегшити вирішення нашого рівняння =) А тепер оце як вона виглядає: D1 = k ^ 2-ac (k = 1 / 2b)

Спосіб 2. Чверть Дискримінант.

D1>0, значить, рівняння має 2 корені

x1,2 = k + / квадратний корінь з D1) / a

Оцінили на скільки легше рішення ?;)

Дякую за увагу, бажаю Вам успіхів у навчанні =)

  • У нашому випадку в рівняннях D і D1 були >0 і ми отримали по 2 кореня. Якби було D = 0 і D1 = 0, то ми отримали б по одному кореню, а якби було D<0 і D1<0 відповідно, то у рівнянь коренів б не було зовсім.
  • Через корінь дискримінанту (D1) можна вирішувати тільки ті рівняння, в яких член b парний (!)

Автор видимість школяр 7-8 класу, оч приємно що він намагається поділиться своїм досвідом, якого він дізнався протягом навчального року.

Плюс, хоч я це знав, але за старання мені не шкода за собою залишити слід позитивного відгуку ....

Дивно, але сказано що StreAw це "студентка =)"

Все таки нехай інструкція піде, але є одне АЛЕ!

Шановна StreAw введіть в пошук на цьому сайті

І Про чудо крім цієї є ще 3 такі інструкції!

Варіант "чверть дискримінанту" Як на мене ні чим не відрізняється від звичайного.

Це НЕ критика - це порада:

Спочатку подивися (раптом така вже є). Потім пиши.

Дякую дуже допомогло!

Дякуємо. Мене не зміг навчити вчитель, а Ви навчили :)

Автор - молодець. Дійсно, про D1 чомусь навіть не у всіх підручниках пишуть (мабуть, тому, що навіть D не всі толком засвоюють, щоб не плуталися ще більше).

Рішення квадратного рівняння - справа хоч і зовсім не складне, але проведіть незалежне тестування перехожих на перехресті. І Ви побачите, що впораються з цим простим завданням далеко не всі. (Це я тим, хто з висоти своїх двох вищих технічних утворень не вважає такі "шкільні" інструкції корисними).

Чи не знайшли потрібну покрокову інструкцію?

Можливо, що хтось із відвідувачів сайту зможе допомогти. Залиште запит прямо зараз, якщо Ви впевнені, що ця тема ще не освітлена на нашому проекті!

квадратним рівнянням називається рівняння виду

де a, b, c - коефіцієнти, причому a ≠ 0, а x - невідоме, яке потрібно знайти.

Квадратне рівняння можна звести до наведеного виду - це вид, при якому коефіцієнт a = 1.

Рішення квадратного рівняння через дискримінант

Рішення квадратного рівняння через дискримінант виконується по строго певним алгоритмом:

1. Обчислити дискримінант за формулою

2. Якщо D < 0 - рівняння не має коренів

3. Якщо D > 0 - рівняння має 2 корені, які обчислюються за формулами:

4. Якщо D = 0 - рівняння має рівно 1 корінь, який обчислюється за формулою:

Теорема Вієта для вирішення квадратного рівняння

Квадратне рівняння можна вирішити і за допомогою теореми Вієта.

Теорема: сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а їх добуток - вільному члену цього рівняння.

Тобто, щоб вирішити квадратне рівняння за допомогою теореми Вієта, досить підібрати такі x1 і x2, щоб виконувалося:

Приклад рішення квадратного рівняння

Вирішимо квадратне рівняння 2x² - 16x + 30 = 0 двома способами.

Рішення через дискримінант:

a = 2, b = -16, c = 30

D = (-16) ² - 4 ⋅ 2 ⋅ 30 = 256 - 240 = 16

D > 0 => є 2 різних кореня

x1 = (- (- 16) + √ 16) / (2 ⋅ 2) = (16 + 4) / 4 = 5

x2 = (- (- 16) - √ 16) / (2 ⋅ 2) = (16 - 4) / 4 = 3

Рішення через теорему Вієта:

a = 2, b = -16, c = 30

x1 + x2 = - (- 16) / 2 = 8

x1 ⋅ x2 = 30/2 = 15

Розкладемо 15 на можливі пари множників:

15 = 1 ⋅ 15 = (-1) ⋅ (-15) = 3 ⋅ 5 = (-3) ⋅ (-5)

І перевіримо, які з них підійдуть в якості рішення:

Таким чином, в якості коренів підійдуть тільки 3 і 5.

Після рішення будь-якого рівняння рекомендується підставити отримані коріння в початкове рівняння, щоб перевірити правильність рішення.

Для перевірки результатів можна скористатися онлайн-калькулятором для вирішення квадратних рівнянь.

Поділіться статтею з однокласниками «РІШЕННЯ КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ - алгоритми і приклади».

Знайшли помилку? Виділіть текст і натисніть Ctrl + Enter.

Рішення квадратного рівняння через дискримінант формули

кут а трикутника АВС дорівнює 64 градуса.Найдіте менший з кутів між биссектрисами кутів в і с - Дізнаємося відповіді на поставлене запитання!

Методи вирішення квадратних рівнянь. приклади

Квадратні рівняння відрізняються від лінійних наявністю одного невідомого, зведеного в другу ступінь. У класичному (канонічному) вигляді множники a, b і вільний член c - не рівні нулю.

Визначення квадратного рівняння

Квадратне рівняння - це рівняння, в якому ліва частина дорівнює нулю, а права - є тричлен другого ступеня виду:

Вирішити тричлен або відшукати його коріння значить знайти значення x, при яких рівність стає вірним. Звідси випливає, що корінням такого рівняння називають значення змінної x.

Пошук коренів через формулу дискримінанту

Приклад може мати одне або два кореня, а може не мати жодного. Є дуже простий і зрозумілий алгоритм дій для визначення кількості рішень. Для цього достатньо знайти дискримінант - спеціальну розрахункову величину, яка використовується під час пошуку коренів. Формула для обчислень виглядає наступним чином:

Залежно від отриманого результату можна зробити наступні висновки:

    є два кореня, якщо D > 0; є одне рішення, якщо D = 0; коренів немає, якщо D < 0.

В останньому випадку відповідь можна вважати знайденим - «рішень немає». Справа в тому, що подальші обчислення зажадають витягти корінь квадратний дискримінанту, чого абсолютно точно можна зробити з негативним числом.

Якщо ж D ≥ 0, то потрібно продовжити розрахунки за формулою:

Приклади розв'язання квадратного рівняння

Алгоритм рішення многочлена дуже простий:

Привести вираз до класичного вигляду. Визначити чи є коріння квадратного рівняння (формула дискримінанту). Якщо D ≥ 0, то знайти значення змінної x за допомогою будь-якого з відомих способів.

Наведемо наочний приклад, як вирішити квадратне рівняння.

завдання 1. Знайти коріння і графічно позначити область рішення рівняння 6x + 8 - 2 × 2 = 0.

Перш за все, необхідно привести рівність до канонічного виду ax2 + bx + c = 0. Для цього переставимо складові многочлена місцями.

Потім, спростимо вираз, позбувшись від коефіцієнта перед x2. Помножимо ліву і праву частину на (-1) /2, в результаті отримаємо:

Переваги формул для знаходження коренів квадратного рівняння через дискримінант полягає в тому, що з їх допомогою можна вирішити будь-яке тричлен другого ступеня.

Отже, в наведеному многочлене a = 1, b = -3, а c = -4. Обчислимо значення дискримінанту для конкретного прикладу.

Графіки вираження будуть виглядати наступним чином:

У розглянутому прикладі D>0, отже, коренів - два.

Рада 1: Якщо множник a - негативне число, необхідно помножити обидві частини прикладу на (-1).

Рада 2: Якщо в прикладі присутні дробу, постарайтеся позбутися від них, помноживши ліву і праву сторону вираження на зворотні числа.

Рада 3: Завжди слід приводити рівняння до канонічного виду, це допоможе виключити ймовірність плутанини в коефіцієнтах.

Існують методи, що дозволяють значно скоротити обчислення. До них відносять теорему Вієта. Даний спосіб можна застосувати не до всіх типів рівнянь, а тільки якщо множник при змінній x2 дорівнює одиниці, тобто a = 1.

Розглянемо дане твердження на конкретних прикладах:

5 × 2 - 2x + 9 = 0 - застосування теореми в даному випадку недоцільно, так як a = 5; -x2 + 11x - 8 = 0 - a = -1, значить вирішувати рівняння способом Вієта можна тільки після приведення до класичного вигляду, т. е. помноживши обидві частини на -1; x2 + 4x - 5 = 0 - це завдання ідеально підходить для розбору методу рішення.

Для того, щоб швидко знайти коріння вираження, необхідно підібрати пару значень x, при яких справедлива наступна система лінійних рівнянь:

Вирішувати таку систему слід методом підбору, інакше обчислення тільки ускладняться. Наприклад, для вираження x2 + 4x - 5 = 0 умови виглядають так:

Підбираємо ймовірні значення і отримуємо x1 = 1 і x2 = -5.

Виконаємо перевірку знайдених відповідей, по черзі підставивши x1 і x2 в початковий приклад.

Існує варіант формул дискримінанту для рівнянь з парних значенням другого коефіцієнта - b.

Дані формули не обов'язкові для запам'ятовування і про них не завжди пишуть в підручниках, проте, їх застосування може заощадити час при пошуку рішення. Чим простіше формули для розрахунку, тим менше ймовірність помилитися в обчисленнях.

Рішення квадратного рівняння через дискримінант формули

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де a не дорівнює 0.

Для вирішення квадратного рівняння можна використовувати формули:

Де D = b 2 - 4ac - дискримінант многочлена ax 2 + bx + c.

якщо D > 0, то рівняння має два різних дійсних кореня.

Якщо D = 0, то обидва кореня речовинні та є рівними.

якщо D < 0, то обидва кореня є комплексними числами.

Щоб не проводити всі обчислення вручну, просто підставте значення коефіцієнтів в наведену нижче форму.

Також для знаходження коренів квадратного рівняння можна застосовувати теорему Вієта.

Рішення квадратного рівняння через дискримінант формули

Квадратні рівняння. Повний квадратне рівняння. Неповне квадратне рівняння. Дискримінант.

Як вирішити квадратне рівняння?

Як виглядає формула квадратного рівняння?

Які бувають квадратні рівняння?

Що таке повне квадратне рівняння?

Що таке неповне квадратне рівняння?

Що таке дискримінант?

Скільки коренів має квадратне рівняння?

Ці питання вас більше не будуть мучити, після вивчення матеріалу.

Формула квадратного рівняння:

де X - змінна,

A, b, c - числові коефіцієнти.

Приклад повного квадратного рівняння:

Рішення Повних квадратних рівнянь зводиться до знаходження дискримінанту:

якщо D>0, то рівняння має два кореня і знаходимо ці корені за формулою:

якщо D = 0, рівняння має один корінь

якщо D<0, рівняння не має дійсних коренів.

Розглянемо приклад №1:

Записуємо спочатку, чому дорівнюють числові коефіцієнти a, b і c.

коефіцієнт A завжди стоїть перед x 2, коефіцієнт B завжди перед змінної x, а коефіцієнт C - це вільний член.

Дискримінант більше нуля, отже, у нас два кореня, знайдемо їх:

Записуємо, чому дорівнюють числові коефіцієнти a, b і c.

Далі знаходь дискриминант.

D = b 2 -4ac = (2) 2 -4 ∙ 1 ∙ 1 = 4-4 = 0

Дискримінант дорівнює нулю, отже, один корінь:

Записуємо, чому дорівнюють числові коефіцієнти a, b і c.

Далі знаходь дискриминант.

D = b 2 -4ac = (- 1) 2 -4 ∙ 7 ∙ 2 = 1-56 = -55

Дискримінант менше нуля, отже, коренів немає.

Розглянемо Неповне квадратне рівняння:

Ax 2 + bx = 0, де числовий коефіцієнт C = 0.

Приклад як виглядають такі рівняння:

Щоб вирішити таке рівняння необхідно змінну x винести за дужки. А потім кожен множник прирівняти до нуля і вирішити вже прості рівняння.

Виносимо змінну x за дужку,

Прирівнюємо кожен множник до нуля,

Ділимо всі рівняння на 3, щоб отримати у змінної x коефіцієнт рівний 1.

Виносимо змінну x за дужку,

Прирівнюємо кожен множник до нуля,

Розглянемо Неповне квадратне рівняння:

Ax 2 + c = 0, де числовий коефіцієнт B = 0.

Щоб вирішити це рівняння, потрібно записати так:

X 2 = c / a, якщо число c / a буде негативним числом, то рівняння не має рішення.

А якщо c / a позитивне число, то рішення виглядає таким чином:

X 2 = -5, видно, що -5<0, значить немає рішення.

Відповідь: немає рішення

4>0 отже, є рішення,

Підписуйтесь на канал на YOUTUBE і дивіться відео, готують до іспитів з математики та геометрії з нами.

Біквадратне рівняння. Алгоритм рішення і приклади.

Додати коментар Скасувати відповідь

Щоб відправити коментар вам необхідно авторизуватись.

Будь ласка вимкніть блокування реклами або додайте сайт в виключення блокувальника, якщо бажаєте щоб проект розвивався.

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (9 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

33 − 25 =

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

map