рішення квадратних рівнянь приклади і докладний рішення

Содержание

рішення квадратних рівнянь приклади і докладний рішення

Рішення квадратних рівнянь приклади і докладний рішення

Квадратні рівняння в процесі рішення поділяються на три категорії.

1) Рівняння, при вирішенні яких виходить позитивний дискриминант.

Такі квадратні рівняння мають два різних дійсних корені.

2) Рівняння з дискримінантом, рівним нулю.

В цьому випадку високоосвічені шкільні вчителі кажуть, що рівняння має один корінь, але ми, прості люди, які знають наслідок з основної теореми алгебри, говоримо, що це рівняння має два кореня, просто вони однакові. Інакше кажучи, рівняння має один корінь кратності два.

3) Рівняння, в яких дискримінант виходить негативним.

а) ви школяр, тоді для вас це рівняння коренів не має,

б) ви людина, яка знає про уявну одиниці, тоді це рівняння має, знову ж таки, два кореня, правда вони комплексні.

Розглянемо приклади на кожен тип.

Вирішимо квадратне рівняння

1) Припустимо, що ми ще не знаємо формул для коренів рівняння і будемо вирішувати його, виділяючи повний квадрат. Перетворення наводяться без коментарів, вони аналогічні коментарям з попереднього параграфа.

Отже, рівняння набуде вигляду:

відповідь:

2) Вирішимо це ж рівняння за допомогою формул для коренів.

Випишемо значення коефіцієнтів:

відповідь:

Відповіді однакові (само собою).

Вирішимо квадратне рівняння

1) Припустимо, що ми ще не знаємо формул для коренів рівняння і будемо вирішувати це рівняння уважно на нього подивившись. А якщо на нього дуже уважно подивитися, то можна помітити, що цей квадратний тричлен є точний квадрат.

відповідь:

2) Вирішимо це ж рівняння за допомогою формул для коренів.

Випишемо значення коефіцієнтів:

відповідь:

Вирішимо квадратне рівняння

1) Виділяємо повний квадрат.

Отже, рівняння набуде вигляду:

Квадрат вираження дорівнює негативному числу.

а) Для школярів.

Якщо рівняння вирішується над полем дійсних чисел, то корінь з від'ємного числа невизначений і це рівняння коренів не має.

б) Якщо це рівняння вирішується для комплексних чисел, то, користуючись визначенням уявної одиниці:

відповідь:

2) Вирішимо це ж рівняння за допомогою формул для коренів.

Випишемо значення коефіцієнтів:

а) Для школярів.

Корінь з негативного числа невизначений, це рівняння коренів не має.

б) Якщо це рівняння вирішується для комплексних чисел, то, користуючись визначенням уявної одиниці:

відповідь:

Приклади рішень неповних квадратних рівнянь в наступному параграфі.

Квадратні рівняння - приклади з рішенням, особливості та формули

У сучасному суспільстві вміння виробляти дії з рівняннями, що містять змінну, зведену в квадрат, може стати в нагоді в багатьох областях діяльності і широко застосовується на практиці в наукових і технічних розробках. Свідченням тому може служити конструювання морських і річкових суден, літаків і ракет. За допомогою подібних розрахунків визначають траєкторії переміщення самих різних тіл, в тому числі і космічних об'єктів. Приклади з рішенням квадратних рівнянь знаходять застосування не тільки в економічному прогнозуванні, при проектуванні і будівництві будівель, але і в самих звичайних життєвих обставинах. Вони можуть знадобитися в туристичних походах, на спортивних змаганнях, в магазинах при здійсненні покупок і в інших вельми поширених ситуаціях.

Розіб'ємо вираз на складові множники

Ступінь рівняння визначається максимальним значенням ступеня у змінної, яку містить цей вислів. У разі, якщо вона дорівнює 2, то подібне рівняння якраз і називається квадратним.

Якщо висловлюватися мовою формул, то зазначені вирази, як би вони не виглядали, завжди можна привести до виду, коли ліва частина виразу складається з трьох доданків. Серед них: ax 2 (тобто змінна, зведена в квадрат зі своїм коефіцієнтом), bx (невідоме без квадрата зі своїм коефіцієнтом) і c (вільна складова, тобто звичайне число). Все це в правій частині прирівнюється 0. У випадку, коли у подібного многочлена відсутня одна з його складових доданків, за винятком ax 2, воно називається неповним квадратним рівнянням. Приклади з рішенням таких завдань, значення змінних в яких знайти нескладно, слід розглянути в першу чергу.

Якщо вираз на вигляд виглядає таким чином, що доданків у вираження в правій частині два, точніше ax 2 і bx, найлегше відшукати х винесенням змінної за дужки. Тепер наше рівняння буде виглядати так: x (ax + b). Далі стає очевидно, що або х = 0, або завдання зводиться до знаходження змінної з наступного виразу: ax + b = 0. Зазначене продиктоване одним з властивостей множення. Правило говорить, що твір двох множників дає в результаті 0, тільки якщо один з них дорівнює нулю.

Далі діємо згідно зі щойно описаного правилу.

В результаті отримуємо два кореня рівняння: 0 і 0,375.

Рівняння такого роду можуть описувати переміщення тіл під дією сили тяжіння, що почали рух з певної точки, прийнятої за початок координат. Тут математична запис приймає наступну форму: y = v0t + gt 2/2. Підставивши необхідні значення, прирівнявши праву частину 0 і знайшовши можливі невідомі, можна дізнатися час, що проходить з моменту підйому тіла до моменту його падіння, а також багато інших величини. Але про це ми поговоримо пізніше.

Розкладання виразу на множники

Описане вище правило дає можливість вирішувати зазначені завдання і в більш складних випадках. Розглянемо приклади з рішенням квадратних рівнянь такого типу.

X 2 - 33x + 200 = 0

Цей квадратний тричлен є повним. Для початку перетворимо вираз і розкладемо його на множники. Їх виходить два: (x-8) і (x-25) = 0. У результаті маємо два кореня 8 і 25.

Приклади з рішенням квадратних рівнянь в 9 класі дозволяють даним методом знаходити змінну у виразах не тільки другого, але навіть третього і четвертого порядків.

Наприклад: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. При розкладанні правій частині на множники зі змінною, їх виходить три, тобто (x + 1), (x-3) і (x + 3).

В результаті стає очевидно, що дане рівняння має три корені: -3; -1; 3.

Іншим випадком неповного рівняння другого порядку є вираз, на мові букв представлене таким чином, що права частина будується зі складових ax 2 і c. Тут для отримання значення змінної вільний член переноситься в праву сторону, а після цього з обох частин рівності витягується квадратний корінь. Слід звернути увагу, що і в даному випадку коренів рівняння зазвичай буває два. Винятком можуть служити лише тільки рівності, взагалі не містять доданок с, де змінна дорівнює нулю, а також варіанти виразів, коли права частина виявляється негативною. В останньому випадку рішень взагалі не існує, так як зазначені вище дії неможливо виробляти з корінням. Приклади рішень квадратних рівнянь такого типу необхідно розглянути.

В даному випадку корінням рівняння виявляться числа -4 і 4.

Обчислення пощади земельної ділянки

Потреба в подібного роду обчисленнях з'явилася в далекій давнині, адже розвиток математики багато в чому в ті далекі часи було обумовлено необхідністю визначати з найбільшою точністю площі і периметри земельних ділянок.

Приклади з рішенням квадратних рівнянь, складених на основі завдань такого роду, слід розглянути і нам.

Отже, припустимо є прямокутна ділянка землі, довжина якого на 16 метрів більше, ніж ширина. Слід знайти довжину, ширину і периметр ділянки, якщо відомо, що його площа дорівнює 612 м 2.

Приступаючи до справи, спочатку складемо необхідне рівняння. Позначимо за х ширину ділянки, тоді його довжина виявиться (х + 16). З написаного випливає, що площа визначається виразом х (х + 16), що, згідно з умовою нашого завдання, становить 612. Це означає, що х (х + 16) = 612.

Рішення повних квадратних рівнянь, а цей вислів є саме таким, не може проводитися в попередній спосіб. Чому? Хоча ліва частина його як і раніше містить два множники, твір їх зовсім не дорівнює 0, тому тут застосовуються інші методи.

Перш за все зробимо необхідні перетворення, тоді зовнішній вигляд даного виразу буде виглядати таким чином: x 2 + 16x - 612 = 0. Це означає, ми отримали вираз у формі, що відповідає зазначеному раніше стандарту, де a = 1, b = 16, c = -612.

Це може стати прикладом вирішення квадратних рівнянь через дискримінант. Тут необхідні розрахунки проводяться за схемою: D = b 2 - 4ac. Дана допоміжна величина не просто дає можливість знайти шукані величини в рівнянні другого порядку, вона визначає кількість можливих варіантів. У разі, якщо D>0, їх два; при D = 0 існує один корінь. У разі, якщо D<0, ніяких шансів для вирішення у рівняння взагалі немає.

У нашому випадку дискримінант дорівнює: 256 - 4 (-612) = 2704. Це говорить про те, що відповідь у нашій задачі існує. Якщо знати, наприклад, дискриминант, рішення квадратних рівнянь потрібно продовжувати із застосуванням нижче наведеної формули. Вона дозволяє обчислити корені.

Це означає, що в представленому випадку: x1= 18, x2= -34. Другий варіант в даній проблемі не може бути рішенням, тому що розміри земельної ділянки не можуть вимірюватися в негативних величинах, значить х (тобто ширина ділянки) дорівнює 18 м. Звідси обчислюємо довжину: 18 + 16 = 34, і периметр 2 (34+ 18) = 104 (м 2).

Продовжуємо вивчення квадратних рівнянь. Приклади і докладний рішення кількох з них будуть наведені далі.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Перенесемо все в ліву частину рівності, зробимо перетворення, тобто отримаємо вид рівняння, який прийнято називати стандартним, і прирівняємо його нулю.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Склавши подібні, визначимо дискриминант: D = 49 - 48 = 1. Значить у нашого рівняння буде два кореня. Обчислимо їх згідно наведеної вище формулою, а це значить, що перший з них буде дорівнює 4/3, а другий 1.

2) Тепер розкриємо загадки іншого роду.

З'ясуємо, чи є взагалі тут коріння x 2 - 4x + 5 = 1? Для отримання вичерпної відповіді наведемо багаточлен до відповідного звичного вигляду і обчислимо дискриминант. У зазначеному прикладі рішення квадратного рівняння проводити не обов'язково, адже суть завдання полягає зовсім не в цьому. В даному випадку D = 16 - 20 = -4, а значить, коріння дійсно немає.

Квадратні рівняння зручно вирішувати через зазначені вище формули і дискримінант, коли з значення останнього витягується квадратний корінь. Але це буває не завжди. Однак способів для отримання значень змінних в даному випадку існує безліч. Приклад: рішення квадратних рівнянь за теоремою Вієта. Вона названа на честь Франсуа Вієта, який жив в XVI столітті у Франції і зробив блискучу кар'єру завдяки своєму математичному таланту і зв'язків при дворі. Портрет його можна побачити в статті.

Закономірність, яку помітив прославлений француз, полягала в наступному. Він довів, що коріння рівняння в сумі чисельно рівні -p = b / a, а їх добуток відповідає q = c / a.

Тепер розглянемо конкретні завдання.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Для простоти перетворимо вираз:

Скористаємося теоремою Вієта, це дасть нам наступне: сума коренів дорівнює -7, а їх добуток -18. Звідси отримаємо, що корінням рівняння є числа -9 і 2. Зробивши перевірку, переконаємося, що ці значення змінних дійсно підходять в вираз.

Поняття квадратична функція і квадратні рівняння тісно пов'язані. Приклади подібного вже були наведені раніше. Тепер розглянемо деякі математичні загадки трохи докладніше. Будь-яке рівняння описуваного типу можна уявити наочно. Подібна залежність, намальована у вигляді графіка, називається параболою. Різні її види представлені на малюнку нижче.

Будь-яка парабола має вершину, тобто точку, з якої виходять її гілки. У разі якщо a>0, вони йдуть високо в нескінченність, а коли a<0, вони малюються вниз. Найпростішим прикладом подібної залежності є функція y = x 2. В даному випадку в рівнянні x 2 = 0 невідоме може приймати тільки одне значення, тобто х = 0, а значить існує тільки один корінь. Це не дивно, адже тут D = 0, тому що a = 1, b = 0, c = 0. Виходить формула коренів (точніше одного кореня) квадратного рівняння запишеться так: x = -b / 2a.

Наочні зображення функцій допомагають вирішувати будь-які рівняння, в тому числі і квадратні. Цей метод називається графічним. А значенням змінної х є координата абсцис в точках, де відбувається перетин лінії графіка з 0x. Координати вершини можна дізнатися по щойно наведеній формулі x0 = -b / 2a. І, підставивши отримане значення в початкове рівняння функції, можна дізнатися y0, тобто другу координату вершини параболи, що належить осі ординат.

Перетин гілок параболи з віссю абсцис

Прикладів з рішенням квадратних рівнянь дуже багато, але існують і загальні закономірності. Розглянемо їх. Зрозуміло, що перетин графіка з віссю 0x при a>0 можливо тільки якщо у0 набуває від'ємних значень. А для a<0 координата у0 повинна бути позитивна. Для зазначених варіантів D>0. В іншому випадку D<0. А коли D = 0, вершина параболи розташована безпосередньо на осі 0х.

За графіком параболи можна визначити і коріння. Вірно також зворотне. Тобто якщо отримати наочне зображення квадратичної функції нелегко, можна прирівняти праву частину виразу до 0 і вирішити отримане рівняння. А знаючи точки перетину з віссю 0x, легше побудувати графік.

За допомогою рівнянь, що містять змінну, зведену в квадрат, в старовину не тільки робили математичні розрахунки і визначали площі геометричних фігур. Подібні обчислення древнім були потрібні для грандіозних відкриттів в області фізики і астрономії, а також для складання астрологічних прогнозів.

Як припускають сучасні діячі науки, одними з перших рішенням квадратних рівнянь зайнялися жителі Вавилона. Сталося це за чотири століття до настання нашої ери. Зрозуміло, їх обчислення докорінно відрізнялися від нині прийнятих і виявлялися набагато примітивніше. Наприклад, месопотамські математики поняття не мали про існування негативних чисел. Незнайомі їм були також інші тонкощі з тих, які знає будь-який школяр сучасності.

Можливо, ще раніше вчених Вавилона рішенням квадратних рівнянь зайнявся мудрець з Індії Баудхаяма. Сталося це приблизно за вісім століть до настання ери Христа. Правда, рівняння другого порядку, способи вирішення яких він привів, були самими найпростіший. Крім нього, подібними питаннями цікавилися в старовину і китайські математики. В Європі квадратні рівняння почали вирішувати лише на початку XIII століття, але зате пізніше їх використовували в своїх роботах такі великі вчені, як Ньютон, Декарт і багато інших.

Рішення квадратних рівнянь, формула коренів, приклади

Продовжуємо вивчення теми «рішення рівнянь». Ми вже познайомилися з лінійними рівняннями і переходимо до знайомства з квадратними рівняннями.

Спочатку ми розберемо, що таке квадратне рівняння, як воно записується в загальному вигляді, і дамо пов'язані визначення. Після цього на прикладах детально розберемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння. Далі перейдемо до вирішення повних рівнянь, отримаємо формулу коренів, познайомимося з дискримінантом квадратного рівняння і розглянемо рішення характерних прикладів. Нарешті, простежимо зв'язку між країнами і коефіцієнтами.

Навігація по сторінці.

Що таке квадратне рівняння? їх види

Для початку треба чітко розуміти, що таке квадратне рівняння. Тому розмова про квадратних рівняннях логічно почати з визначення квадратного рівняння, а також пов'язаних з ним термінів. Після цього можна розглянути основні види квадратних рівнянь: наведені і неприведення, а також повні і неповні рівняння.

Визначення і приклади квадратних рівнянь

Квадратне рівняння - це рівняння виду a · x 2 + b · x + c = 0 , де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому a відмінно від нуля.

Відразу скажемо, що квадратні рівняння часто називають рівняннями другого ступеня. Це пов'язано з тим, що квадратне рівняння є алгебраїчним рівнянням другого ступеня.

Озвучене визначення дозволяє привести приклади квадратних рівнянь. Так 2 · x 2 + 6 · x + 1 = 0, 0,2 · x 2 + 2,5 · x + 0,03 = 0 і т.п. - це квадратні рівняння.

Числа a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c = 0, причому коефіцієнт a називають першим, або старшим, або коефіцієнтом при x 2, b - другим коефіцієнтом, або коефіцієнтом при x, а c - вільним членом.

Для прикладу візьмемо квадратне рівняння виду 5 · x 2 -29middot; x9minus; 3 = 0, тут старший коефіцієнт є 5, другий коефіцієнт дорівнює -2, а вільний член дорівнює -3. Зверніть увагу, коли коефіцієнти b і / або c негативні, як в тільки що наведеному прикладі, то використовується коротка форма запису квадратного рівняння виду 5 · x 2 -29middot; x9minus; 3 = 0, а не 5 · x 2 + (- 2 ) 9middot; x + (9minus; 3) = 0.

Варто зазначити, що коли коефіцієнти a і / або b рівні 1 або -1, то вони в запису квадратного рівняння зазвичай не присутні явно, що пов'язано з особливостями записи таких числових коефіцієнтів. Наприклад, в квадратному рівнянні y 2 -y + 3 = 0 старший коефіцієнт є одиниця, а коефіцієнт при y дорівнює -1.

Наведені та неприведення квадратні рівняння

Залежно від значення старшого коефіцієнта розрізняють наведені і неприведення квадратні рівняння. Дамо відповідні визначення.

Квадратне рівняння, в якому старший коефіцієнт дорівнює 1, називають наведеним квадратним рівнянням. В іншому випадку квадратне рівняння є неприведення.

Згідно з цим визначенням, квадратні рівняння x 2 -39middot; x + 1 = 0, x 2 -x9minus; 2/3 = 0 і т.п. - наведені, в кожному з них перший коефіцієнт дорівнює одиниці. А 5 · x 2 -x9minus; 1 = 0, і т.п. - неприведення квадратні рівняння, їх старші коефіцієнти відмінні від 1.

Від будь-якого неприведення квадратного рівняння за допомогою ділення його обох частин на старший коефіцієнт можна перейти до наведеного. Ця дія є рівносильним перетворенням, тобто, отримане таким способом наведене квадратне рівняння має те ж коріння, що і вихідне неприведення квадратне рівняння, або, так само як воно, не має коренів.

Розберемо на прикладі, як виконується перехід від неприведення квадратного рівняння до наведеного.

Від рівняння 3 · x 2 + 12 · x9minus; 7 = 0 перейдіть до відповідного наведеним квадратного рівняння.

Нам досить виконати поділ обох частин вихідного рівняння на старший коефіцієнт 3, він відмінний від нуля, тому ми можемо виконати цю дію. Маємо (3 · x 2 + 12 · x9minus; 7): 3 = 0: 3, що те ж саме, (3 · x 2): 3+ (12 · x): 39minus; 7: 3 = 0, і далі (3: 3) · x 2 + (12: 3) · x9minus; 7: 3 = 0, звідки. Так ми отримали наведене квадратне рівняння, рівносильне вихідному.

Повні і неповні квадратні рівняння

У визначенні квадратного рівняння присутній умова a ≠ 0. Ця умова потрібно для того, щоб рівняння a · x 2 + b · x + c = 0 було саме квадратним, так як при a = 0 воно фактично стає лінійним рівнянням виду b · x + c = 0.

Що стосується коефіцієнтів b і c, то вони можуть бути рівні нулю, причому як окремо, так і разом. У цих випадках квадратне рівняння називають неповним.

Квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c = 0 називають неповним, якщо хоча б один з коефіцієнтів b, c дорівнює нулю.

Повний квадратне рівняння - це рівняння, у якого всі коефіцієнти відмінні від нуля.

Такі назви дано не випадково. З таких міркувань це стане зрозуміло.

Якщо коефіцієнт b дорівнює нулю, то квадратне рівняння набирає вигляду a · x 2 + 0 · x + c = 0, і воно рівносильне рівнянню a · x 2 + c = 0. Якщо c = 0, тобто, квадратне рівняння має вигляд a · x 2 + b · x + 0 = 0, то його можна переписати як a · x 2 + b · x = 0. А при b = 0 і c = 0 ми отримаємо квадратне рівняння a · x 2 = 0. Отримані рівняння відрізняються від повного квадратного рівняння тим, що їх ліві частини не містять або доданка зі змінною x, або вільного члена, або і того і іншого. Звідси і їх назва - неповні квадратні рівняння.

Так рівняння x 2 + x + 1 = 0 і -29middot; x 2 -59middot; x + 0,2 = 0 - це приклади повних квадратних рівнянь, а x 2 = 0, -29middot; x 2 = 0, 5 · x 2 + 3 = 0, -x 2 -59middot; x = 0 - це неповні квадратні рівняння.

Рішення неповних квадратних рівнянь

З інформації попереднього пункту випливає, що існує три види неповних квадратних рівнянь:

  • a · x 2 = 0, йому відповідають коефіцієнти b = 0 і c = 0;
  • a · x 2 + c = 0, коли b = 0;
  • і a · x 2 + b · x = 0, коли c = 0.

Розберемо по порядку, як вирішуються неповні квадратні рівняння кожного з цих видів.

Почнемо з рішення неповних квадратних рівнянь, в яких коефіцієнти b і c дорівнюють нулю, тобто, з рівнянь виду a · x 2 = 0. Рівняння a · x 2 = 0 рівносильне рівняння x 2 = 0, яке виходить з вихідного розподілом його обох частин на відмінне від нуля число a. Очевидно, коренем рівняння x 2 = 0 є нуль, так як 0 2 = 0. Інших коренів це рівняння не має, що пояснюється властивостями ступеня, дійсно, для будь-якого відмінного від нуля числа p має місце нерівність p 2 >0, звідки випливає, що при p ≠ 0 рівність p 2 = 0 ніколи не досягається.

Отже, неповне квадратне рівняння a · x 2 = 0 має єдиний корінь x = 0.

Як приклад наведемо рішення неповного квадратного рівняння -49middot; x 2 = 0. Йому рівносильно рівняння x 2 = 0, його єдиним коренем є x = 0, отже, і вихідне рівняння має єдиний корінь нуль.

Короткий рішення в цьому випадку можна оформити наступним чином:

Тепер розглянемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння, в яких коефіцієнт b дорівнює нулю, а c ≠ 0, тобто, рівняння виду a · x 2 + c = 0. Ми знаємо, що перенесення доданка з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також розподіл обох частин рівняння на відмінне від нуля число дають рівносильне рівняння. Тому можна провести наступні рівносильні перетворення неповного квадратного рівняння a · x 2 + c = 0:

  • перенести c в праву частину, що дає рівняння a · x 2 = -c,
  • і розділити обидві його частини на a, одержуємо.

Отримане рівняння дозволяє зробити висновки про його коріння. Залежно від значень a і c значення виразу може бути негативним (наприклад, якщо a = 1 і c = 2, то) або позитивним, (наприклад, якщо a = -2 і c = 6, то), вона не дорівнює нулю , так як за умовою c ≠ 0. Окремо розберемо випадки і.

Якщо, то рівняння не має коренів. Це твердження випливає з того, що квадрат будь-якого числа є число невід'ємне. З цього випливає, що коли, то ні для якого числа p рівність не може бути вірним.

Якщо, то справа з корінням рівняння інакша. В цьому випадку, якщо згадати про квадратному корені, то відразу стає очевидним корінь рівняння, їм є число, так як. Нескладно здогадатися, що і число теж є коренем рівняння, дійсно,. Інших коренів це рівняння не має, що можна показати, наприклад, методом від противного. Зробимо це.

Позначимо тільки що озвучені коріння рівняння як x1 і -x1 . Припустимо, що рівняння має ще один корінь x2 , відмінний від зазначених коренів x1 і -x1 . Відомо, що підстановка в рівняння замість x його коренів звертає рівняння в правильну числову рівність. для x1 і -x1 маємо, а для x2 маємо. Властивості числових рівностей нам дозволяють виконувати почленное віднімання вірних числових рівностей, так віднімання відповідних частин рівності і дає x1 2 -x2 2 = 0. Властивості дій з числами дозволяють переписати отримане рівність як (x1-x2) 9middot; (x1+x2) = 0. Ми знаємо, що твір двох чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з них дорівнює нулю. Отже, з отриманого рівності випливає, що x1-x2= 0 і / або x1+x2= 0, що те ж саме, x2= x1 і / або x2= -x1 . Так ми прийшли до протиріччя, так як спочатку ми сказали, що корінь рівняння x2 відмінний від x1 і -x1 . Цим доведено, що рівняння не має інших коренів, крім і.

Узагальнимо інформацію цього пункту. Неповне квадратне рівняння a · x 2 + c = 0 рівносильне рівнянню, яке

  • не має коренів, якщо,
  • має два кореня і, якщо.

Розглянемо приклади розв'язання неповних квадратних рівнянь виду a · x 2 + c = 0.

Почнемо з квадратного рівняння &9middot;x 2 + 7 = 0. Після перенесення вільного члена в праву частину рівняння, воно набуде вигляду &9middot;x 2 = -7. Розділивши обидві частини отриманого рівняння на 9, прийдемо до. Так як в правій частині вийшло від'ємне число, то це рівняння не має коренів, отже, і вихідне неповне квадратне рівняння &9middot;x 2 + 7 = 0 не має коренів.

Вирішимо ще одне неповне квадратне рівняння -x 2 + 9 = 0. Переносимо дев'ятку в праву частину: -x 2 = -9. Тепер ділимо обидві частини на -1, отримуємо x 2 = 9. У правій частині знаходиться позитивне число, звідки робимо висновок, що або. Після вилучення кореня записуємо остаточну відповідь: неповне квадратне рівняння -x 2 + 9 = 0 має два корені x = 3 або x = -3.

Залишилося розібратися з рішенням останнього виду неповних квадратних рівнянь при c = 0. Неповні квадратні рівняння виду a · x 2 + b · x = 0 дозволяє вирішити метод розкладання на множники. Очевидно, ми можемо розкласти на множники многочлен, що знаходиться в лівій частині рівняння, для чого достатньо винести за дужки загальний множник x. Це дозволяє перейти від вихідного неповного квадратного рівняння до рівносильному рівняння виду x · (a9middot; x + b) = 0. А це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь x = 0 і a · x + b = 0, останнє з яких є лінійним і має корінь x = -b / a.

Отже, неповне квадратне рівняння a · x 2 + b · x = 0 має два корені x = 0 і x = -b / a.

Для закріплення матеріалу розберемо рішення конкретного прикладу.

Виносимо x за дужки, це дає рівняння. Воно рівносильно двом рівнянням x = 0 і. Вирішуємо отримане лінійне рівняння:, і виконавши розподіл змішаного числа на звичайну дріб, знаходимо. Отже, корінням вихідного рівняння є x = 0 і.

Після отримання необхідної практики, рішення подібних рівнянь можна записувати коротко:

Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння

Для вирішення квадратних рівнянь існують формула коренів. запишемо формулу коренів квадратного рівняння: , де D = b 2 -49middot; a9middot; c - так званий дискриминант квадратного рівняння. Запис по суті означає, що.

Корисно знати, як була отримана формула коренів, і як вона застосовується при знаходженні коренів квадратних рівнянь. Розберемося з цим.

Висновок формули коренів квадратного рівняння

Нехай нам потрібно вирішити квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c = 0. Виконаємо деякі рівносильні перетворення:

  • Обидві частини цього рівняння ми можемо розділити на відмінне від нуля число a, в результаті отримаємо наведене квадратне рівняння.
  • тепер виділимо повний квадрат в його лівій частині:. Після цього рівняння набуде вигляду.
  • На цьому етапі можна здійснити перенесення двох останніх доданків в праву частину з протилежним знаком, маємо.
  • І ще перетворимо вираз, що виявилося в правій частині:.

У підсумку ми приходимо до рівняння, яке рівносильне вихідному квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c = 0.

Аналогічні за формою рівняння ми вже вирішували в попередніх пунктах, коли розбирали рішення неповних квадратних рівнянь. Це дозволяє зробити наступні висновки, що стосуються коренів рівняння:

  • якщо, то рівняння не має дійсних рішень;
  • якщо, то рівняння має вигляд, отже,, звідки видно його єдиний корінь;
  • якщо, то або, що те ж саме або, тобто, рівняння має два кореня.

Таким чином, наявність або відсутність коренів рівняння, а значить і вихідного квадратного рівняння, залежить від знака виразу, що стоїть в правій частині. У свою чергу знак цього виразу визначається знаком чисельника, так як знаменник 4 · a 2 завжди позитивний, тобто, знаком виразу b 2 -49middot; a9middot; c. Цей вислів b 2 -49middot; a9middot; c, назвали дискримінантом квадратного рівняння і позначили буквою D. Звідси зрозуміла суть дискримінанту - по його значенню і знаку роблять висновок, чи має квадратне рівняння дійсні корені, і якщо має, то яке їх кількість - один або два.

Повертаємося до рівняння, перепишемо його з використанням позначення дискримінанту:. І робимо висновки:

  • якщо D<0, то це рівняння не має дійсних коренів;
  • якщо D = 0, то це рівняння має єдиний корінь;
  • нарешті, якщо D>0, то рівняння має два кореня або, які в силу властивостей радикалів можна переписати у вигляді або, а після розкриття модуля і приведення дробів до спільного знаменника отримуємо.

Так ми вивели формули коренів квадратного рівняння, вони мають вигляд, де дискриминант D обчислюється за формулою D = b 2 -49middot; a9middot; c.

З їх допомогою при позитивному дискримінант можна обчислити обидва дійсних кореня квадратного рівняння. При рівному нулю дискримінант обидві формули дають одне і те ж значення кореня, відповідне єдиного рішення квадратного рівняння. А при негативному дискримінант при спробі скористатися формулою коренів квадратного рівняння ми стикаємося з витяганням квадратного кореня з негативного числа, що виводить нас за рамки дійсних чисел і шкільної програми. При негативному дискримінант квадратне рівняння не має дійсних коренів, але має пару комплексно сполучених коренів, які можна знайти за тим же отриманим нами формулами коренів.

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

На практиці при вирішенні квадратних рівняння можна відразу використовувати формулу коренів, за допомогою якої обчислити їх значення. Але це більше ставитися до знаходження комплексних коренів.

Однак в шкільному курсі алгебри зазвичай мова йде не про комплексних, а про справжні корінні квадратного рівняння. У цьому випадку доцільно перед використанням формул коренів квадратного рівняння попередньо знайти дискримінант, переконатися, що він ненегативний (в іншому випадку можна робити висновок, що рівняння не має дійсних коренів), і вже після цього обчислювати значення коренів.

Наведені міркування дозволяють записати алгоритм вирішення квадратного рівняння. Щоб вирішити квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c = 0, треба:

  • за формулою дискримінанту D = b 2 -49middot; a9middot; c обчислити його значення;
  • зробити висновок, що квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо дискримінант від'ємний;
  • обчислити єдиний корінь рівняння за формулою, якщо D = 0;
  • знайти два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою коренів, якщо дискримінант позитивний.

Тут лише зауважимо, що при рівному нулю дискримінант можна використовувати і формулу, вона дасть той же значення, що і.

Можна переходити до прикладів застосування алгоритму рішення квадратних рівнянь.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Розглянемо рішення трьох квадратних рівнянь з позитивним, негативним і рівним нулю дискримінантом. Розібравшись з їх рішенням, за аналогією можна буде вирішити будь-яке інше квадратне рівняння. Почнемо.

Знайдіть корені рівняння x 2 + 2 · x9minus; 6 = 0.

У цьому випадку маємо наступні коефіцієнти квадратного рівняння: a = 1, b = 2 і c = -6. Відповідно до алгоритму, спочатку треба обчислити дискримінант, для цього підставляємо зазначені a, b і c в формулу дискримінанту, маємо D = b 2 -49middot; a9middot; c = 2 2 -49middot; 19middot; (9minus; 6) = 4 + 24 = 28. Так як 28>0, тобто, дискриминант більше нуля, то квадратне рівняння має два дійсних кореня. Знайдемо їх по формулі коренів, отримуємо, тут можна спростити отримані вирази, виконавши винесення множника за знак кореня з подальшим скороченням дробу:

Квадратні рівняння. Дискримінант. Рішення, приклади.

До цієї теми є додаткові

Для тих, хто сильно "не надто."

І для тих, хто "дуже навіть.")

Що таке квадратне рівняння? Як воно виглядає? У терміні квадратне рівняння ключовим словом є "квадратное9quot ;. Воно означає, що в рівнянні обов'язково повинен бути присутнім ікс в квадраті. Крім нього, в рівнянні можуть бути (а можуть і не бути!) Просто ікс (в першого ступеня) і просто число (Вільний член). І не повинно бути іксів в ступеня, більше двійки.

Говорячи математичною мовою, квадратне рівняння - це рівняння виду:

тут a, b і з - якісь числа. b і c - зовсім будь-які, а а - будь-який, крім нуля. наприклад:

У цих квадратних рівняннях зліва присутня повний набір членів. Ікс в квадраті з коефіцієнтом а, ікс в першого ступеня з коефіцієнтом b і вільний член с.

Такі квадратні рівняння називаються повними.

А якщо b = 0, що у нас вийде? У нас пропаде ікс в першого ступеня. Від множення на нуль таке трапляється.) Виходить, наприклад:

І так далі. Якщо ж c = 0, отримаємо рівняння без вільного члена:

І т.п. А якщо вже обидва коефіцієнта, b і c дорівнюють нулю, то все ще простіше:

Такі рівняння, де чогось не вистачає, називаються неповними квадратними рівняннями. Що цілком логічно.) Прошу зауважити, що ікс в квадраті присутній у всіх рівняннях.

До речі, чому а не може дорівнювати нулю? А ви підставте замість а нулик.) У нас зникне ікс в квадраті! Рівняння стане лінійним. І вирішується вже зовсім інакше.

Ось і всі головні види квадратних рівнянь. Повні і неповні.

Рішення повних квадратних рівнянь.

Квадратні рівняння вирішуються просто. За формулами і чітким нескладних правил. На першому етапі треба задане рівняння привести до стандартного вигляду, тобто до виду:

Якщо рівняння вам дано вже в такому вигляді - перший етап робити не потрібно.) Головне - правильно визначити всі коефіцієнти, а, b і c.

Формула для знаходження коренів квадратного рівняння виглядає так:

Вираз під знаком кореня називається дискриминант. Але про нього - нижче. Як бачимо, для знаходження ікси, ми використовуємо тільки a, b і з. Тобто коефіцієнти з квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо значення a, b і з в цю формулу і вважаємо. підставляємо зі своїми знаками! Наприклад, в рівнянні:

Приклад практично вирішене:

Все дуже просто. І що, думаєте, помилитися не можна? Ну да, як же ...

Найпоширеніші помилки - плутанина зі знаками значень a, b і з. Вірніше, не з їх знаками (де там плутатися?), А з підстановкою негативних значень в формулу для обчислення коренів. Тут рятує докладний запис формули з конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!

Припустимо, треба ось такий прімерчік вирішити:

Припустимо, ви знаєте, що відповіді у вас рідко з першого разу виходять.

Ну і не лінуйтеся. Написати зайву рядок займе секунд 30. А кількість помилок різко скоротиться. Ось і пишемо докладно, з усіма скобочки і знаками:

Це здається неймовірно важким, так ретельно розписувати. Але це тільки здається. Спробуйте. Ну, або вибирайте. Що краще, швидко, або правильно? Крім того, я вас порадую. Через деякий час відпаде потреба так ретельно все розписувати. Саме буде правильно виходити. Особливо, якщо будете застосовувати практичні прийоми, що описані трохи нижче. Цей злий приклад з купою мінусів вирішиться запросто і без помилок!

Але, частенько, квадратні рівняння виглядають злегка інакше. Наприклад, ось так:

Дізналися?) Так! це неповні квадратні рівняння.

Рішення неповних квадратних рівнянь.

Їх теж можна вирішувати за загальною формулою. Треба тільки правильно зрозуміти, чому тут рівняються a, b і з.

Зрозуміли? У першому прикладі a = 1; b = -4; а c? Його взагалі немає! Ну да, правильно. У математиці це означає, що c = 0! От і все. Підставляємо в формулу нуль замість c, і все у нас вийде. Аналогічно і з другим прикладом. Тільки нуль у нас тут не з, а b !

Але неповні квадратні рівняння можна вирішувати набагато простіше. Без усяких формул. Розглянемо перший неповне рівняння. Що там можна зробити в лівій частині? Можна ікс винести за дужки! Давайте винесемо.

І що з цього? А то, що твір дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли який-небудь з множників дорівнює нулю! Не вірите? Добре, придумайте тоді два ненульових числа, які при перемножуванні нуль дадуть!

Не виходить? Ото ж бо ...

Усе. Це і будуть коріння нашого рівняння. Обидва підходять. При підстановці будь-якого з них у вихідне рівняння, ми отримаємо вірне тотожність 0 = 0. Як бачите, рішення куди простіше, ніж за загальною формулою. Зауважу, до речі, який ікс буде першим, а який другим - абсолютно байдуже. Зручно записувати по порядочку, х1 - то, що менше, а х2 - то, що більше.

Друге рівняння теж можна вирішити просто. Переносимо 9 в праву частину. отримаємо:

Залишається корінь витягти з 9, і все. вийде:

Так вирішуються всі неповні квадратні рівняння. Або за допомогою винесення ікси за дужки, або простим перенесенням числа вправо з подальшим витяганням кореня.

Сплутати ці прийоми вкрай складно. Просто тому, що в першому випадку вам доведеться корінь з ікси витягувати, що якось незрозуміло, а в другому випадку виносити за дужки нічого ...

Дискримінант. Формула дискримінанту.

чарівне слово дискриминант! Рідкісний старшокласник не чув цього слова! Фраза «вирішуємо через дискримінант» вселяє впевненість і обнадіює. Тому що чекати каверз від дискримінанту не доводиться! Він простий і безвідмовний в зверненні.) Нагадую саму загальну формулу для вирішення будь-яких квадратних рівнянь:

Вираз під знаком кореня називається дискримінантом. Зазвичай дискриминант позначається буквою D. Формула дискримінанту:

І чим же примітно це вираз? Чому воно заслужило спеціальну назву? У чому сенс дискримінанту? адже -b, або 2a в цій формулі спеціально ніяк не називають. Букви і букви.

Справа ось в чому. При вирішенні квадратного рівняння за цією формулою, можливі всього три випадки.

1. Дискримінант позитивний. Це означає, з нього можна витягти корінь. Добре корінь витягується, чи погано - питання інше. Важливо, що витягується в принципі. Тоді у вашого квадратного рівняння - два кореня. Два різних рішення.

2. Дискримінант дорівнює нулю. Тоді у вас вийде одне рішення. Так як від додавання-віднімання нуля в чисельнику нічого не змінюється. Строго кажучи, це не один корінь, а два однакових. Але, в спрощеному варіанті, прийнято говорити про одному рішенні.

3. Дискримінант негативний. З негативного числа квадратний корінь не розгорнеться. Ну і добре. Це означає, що рішень немає.

Чесно кажучи, при простому вирішенні квадратних рівнянь, поняття дискримінанту не особливо-то і потрібно. Підставляємо в формулу значення коефіцієнтів, так вважаємо. Там все само собою виходить, і два кореня, і один, і жодного. Однак, при вирішенні більш складних завдань, не повідомляючи сенсу і формули дискримінанту не обійтись. Особливо - в рівняннях з параметрами. Такі рівняння - вищий пілотаж на ДПА та ЗНО!)

Отже, як вирішувати квадратні рівняння через дискримінант ви згадали. Або навчилися, що теж непогано.) Чи вмієте правильно визначати a, b і з. Чи вмієте уважно підставляти їх в формулу коренів і уважно вважати результат. Ви зрозуміли, що ключове слово тут - уважно?

А тепер візьміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок. Тих самих, що через неуважність. ... За які потім буває боляче і прикро ...

прийом перший. Не лінуйтеся перед рішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду. Що це означає? Припустимо, після всяких перетворень ви отримали ось таке рівняння:

Не кидайтеся писати формулу коренів! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b і с. Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс в квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:

І знову не кидайтеся! Мінус перед іксом в квадраті може здорово вас засмутити. Забути його легко ... Позбавтеся від мінуса. Як? Так як вчили в попередній темі! Треба помножити все рівняння на -1. отримаємо:

А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коренів, вважати дискримінант і дорешівать приклад. Вирішимо самостійно. У вас повинні вийти коріння 2 і -1.

Прийом другий. Перевіряйте коріння! По теоремі Вієта. Не лякайтеся, я все поясню! перевіряємо останнє рівняння. Тобто то, за яким ми записували формулу коренів. Якщо (як в цьому прикладі) коефіцієнт а = 1, перевірити коріння легко. Досить їх перемножити. Повинен вийти вільний член, тобто в нашому випадку -2. Зверніть увагу, не 2, а -2! вільний член зі своїм знаком. Якщо не вийшло - значить вже десь накосячілі. Шукайте помилку.

Якщо вийшло - треба скласти коріння. Остання і остаточна перевірка. Повинен вийти коефіцієнт b з протилежним знаком. У нашому випадку -1 + 2 = +1. А коефіцієнт b, який перед іксом, дорівнює -1. Значить, все вірно!

Шкода, що це так просто тільки для прикладів, де ікс в квадраті чистий, з коефіцієнтом а = 1. Але хоч у таких рівняннях перевіряйте! Все менше помилок буде.

прийом третій. Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбудьтеся від дробів! Домножьте рівняння на спільний знаменник, як описано в уроці "Як вирішувати рівняння? Чи тотожні перетворення". При роботі з дробами помилки, чомусь так і лізуть ...

До речі, я обіцяв злий приклад з купою мінусів спростити. Будь ласка! Ось він.

Щоб не плутатися в мінусах, домножаем рівняння на -1. отримуємо:

От і все! Вирішувати - одне задоволення!

Отже, підсумуємо тему.

1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.

2. Якщо перед іксом в квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього рівняння на -1.

3. Якщо коефіцієнти дробові - ліквідуємо дробу множенням всього рівняння на відповідний множник.

4. Якщо ікс в квадраті - чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити за теоремою Вієта. Робіть це!

Квадратні рівняння вивчають в 8 класі, тому нічого складного тут немає. Уміння вирішувати їх абсолютно необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш, ніж вивчати конкретні методи рішення, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно розділити на три класи:

  1. Не мають коренів;
  2. Мають рівно один корінь;
  3. Мають два різних кореня.

В цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдиний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ - дискриминант.

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискриминант - це просто число D = b 2 - 4 ac.

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз неважливо. Важливо інше: по знаку дискримінанту можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

  1. якщо D < 0, коренів немає;
  2. Якщо D = 0, тобто рівно один корінь;
  3. якщо D > 0, коренів буде два.

Зверніть увагу: дискриминант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їх знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння і знайдемо дискримінант:

a = 1, b = -8, c = 12;

D = (-8) 2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16

Отже, дискриминант позитивний, тому рівняння має два різних кореня. Аналогічно розбираємо друге рівняння:

D = 3 2 - 4 · 5 · 7 = 9 - 140 = -131.

Дискримінант негативний, коренів немає. Залишилося останнє рівняння:

D = (-6) 2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю - корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння були виписані коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно - зате ви не переплутати коефіцієнти і не допустите дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість або якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не буде потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви будете виконувати в голові. Більшість людей починають робити так десь після 50-70 вирішених рівнянь - загалом, не так і багато.

Тепер перейдемо, власне, до вирішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул - вийде одне і те ж число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D < 0, коренів немає - нічого рахувати не треба.

Завдання. Вирішити квадратні рівняння:

x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;

D = (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два кореня. Знайдемо їх:

15 - 2 x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;

D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два кореня. знайдемо їх

Нарешті, третє рівняння:

x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;

D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використовувати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як видно з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули і вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці в формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок - і дуже скоро позбудетеся від помилок.

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. наприклад:

Нескладно помітити, що в цих рівняннях відсутня одна з складових. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: в них навіть не буде потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 або c = 0, тобто коефіцієнт при змінній x або вільний елемент дорівнює нулю.

Зрозуміло, можливий зовсім важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. У цьому випадку рівняння приймає вид a x 2 = 0. Очевидно, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо інші випадки. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Трохи перетворимо його:

Рішення неповного квадратного рівняння

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно при (- c / a) ≥ 0. Висновок:

  1. Якщо в неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (- c / a) ≥ 0, коренів буде два. Формула дана вище;
  2. Якщо ж (- c / a) < 0, коренів немає.

Як бачите, дискриминант не поставила вимогу про - в неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (- c / a) ≥ 0. Досить висловити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку від знака рівності. Якщо там позитивне число - коренів буде два. Якщо негативне - коріння не буде взагалі.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, в яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут все просто: коренів завжди буде два. Досить розкласти многочлен на множники:

Винесення спільного множника за дужки

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси знаходяться корені. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Вирішити квадратні рівняння:

5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. Корній немає, тому що квадрат не може дорівнювати негативного числа.

4 x 2 - 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (5 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

35 − = 34

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

map