рішення квадратних рівнянь за теоремою Вієта

рішення квадратних рівнянь за теоремою Вієта

Для наведеного квадратного рівняння (тобто такого, коефіцієнт при x 2 в якому дорівнює одиниці) x 2 + px + q = 0 сума коренів дорівнює коефіцієнту p, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену q:

У разі неприведення квадратного рівняння ax 2 + bx + c = 0:

Щоб не проводити всі обчислення вручну, просто підставте значення коефіцієнтів в наведену нижче форму.

Знання сила. Пізнавальна інформація

Як навчитися вирішувати квадратні рівняння за теоремою Вієта?

Теорема Вієта (точніше, теорема, зворотна теоремі Вієта) дозволяє скоротити час на рішення квадратних рівнянь. Тільки треба вміти нею користуватися. Як навчитися вирішувати квадратні рівняння за теоремою Вієта? Це нескладно, якщо трохи поміркувати.

Зараз ми будемо говорити тільки про рішення по теоремі Вієта наведеного квадратного уравненія.Пріведенное квадратне рівняння - це рівняння, в якому a, тобто коефіцієнт перед x², дорівнює одиниці. Чи не наведені квадратні рівняння вирішити по теоремі Вієта теж можна, але там вже, як мінімум, один з коренів - не ціла кількість. Їх вгадувати складніше.

Теорема, зворотна теоремі Вієта, говорить: якщо числа x1 і x2 такі, що

то x1 і x2 - корені квадратного рівняння

При вирішенні квадратного рівняння за теоремою Вієта можливі всього 4 варіанти. Якщо запам'ятати хід міркувань, знаходити цілі коріння можна навчитися дуже швидко.

це означає, що коріння x1 і x2 - числа однакового знака (оскільки тільки при множенні чисел з однаковими знаками виходить позитивне число).

I.a. Якщо -p - позитивне число, (Відповідно, p<0), то обидва кореня x1 і x2 - позитивні числа (оскільки складали числа одного знака і отримали позитивне число).

I.b. Якщо -p - негативне число, (Відповідно, p>0), то обидва кореня - негативні числа (складали числа одного знака, отримали негативне число).

це означає, що коріння x1 і x2 мають різні знаки (при множенні чисел негативне число виходить тільки в разі, коли знаки у множників різні). В цьому випадку x1 + x2 є вже не сумою, а різницею (адже при додаванні чисел з різними знаками ми віднімаємо з більшого по модулю менше). Тому x1 + x2 показує, на скільки одне відрізняються коріння x1 і x2, тобто, на скільки один корінь більше іншого (по модулю).

II.a. Якщо -p - позитивне число, (Тобто p<0), то більший (по модулю) корінь - позитивне число.

II.b. Якщо -p - негативне число, (p>0), то більший (по модулю) корінь - негативне число.

Розглянемо рішення квадратних рівнянь за теоремою Вієта на прикладах.

Вирішити наведене квадратне рівняння за теоремою Вієта:

Тут q = 12>0, тому коріння x1 і x2 - числа одного знака. Їх сума дорівнює -p = 7>0, тому обидва кореня - позитивні числа. Підбираємо цілі числа, твір яких одно 12. Це 1 і 12, 2 і 6, 3 і 4. Сума дорівнює 7 у пари 3 і 4. Значить, 3 і 4 - коріння рівняння.

В даному прикладі q = 16>0, значить, коріння x1 і x2 - числа одного знака. Їх сума -p = -10<0, тому обидва кореня - негативні числа. Підбираємо числа, твір яких дорівнює 16. Це 1 і 16, 2 і 8, 4 і 4. Сума 2 і 8 дорівнює 10, а раз потрібні негативні числа, то шукані корені - це -2 і -8.

Тут q = -15<0, що означає, що коріння x1 і x2 - числа різних знаків. Тому 2 - це вже не їх сума, а різниця, тобто числа відрізняються на 2. Підбираємо числа, твір яких одно 15, що відрізняються на 2. Твір дорівнює 15 у 1 і 15, 3 і 5. Чи відрізняються на 2 числа в парі 3 і 5. Оскільки -p = 2>0, то більше число позитивно. Значить, коріння 5 і -3.

q = -36<0, значить, коріння x1 і x2 мають різні знаки. Тоді 5 - це те, наскільки відрізняються x1 і x2 (по модулю, тобто поки що без урахування знака). Серед чисел, твір яких одно 36: 1 і 36, 2 і 18, 3 і 12, 4 і 9 - вибираємо пару, в якій числа відрізняються на 5. Це 4 і 9. Залишилося визначити їх знаки. Оскільки -p = -5<0, більше число має знак мінус. Тому коріння даного рівняння рівні -9 і 4.

Про застосування теореми Вієта при вирішенні квадратних рівнянь

У восьмому класі, учні знайомляться з квадратними рівняннями і способами їх вирішення. При цьому, як показує досвід, більшість учнів при вирішенні повних квадратних рівнянь застосовують тільки один спосіб - формулу коренів квадратного рівняння. Для учнів, які добре володіють навичками усного рахунку, цей спосіб явно нераціональне. Вирішувати квадратні рівняння учням доводиться часто і в старших класах, а там витрачати час на розрахунок дискримінанту просто шкода. На мій погляд, при вивченні квадратних рівнянь, слід приділити більше часу і уваги застосуванню теореми Вієта (за програмою А.Г. Мордкович Алгебра-8, на вивчення теми "Теорема Вієта. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники" заплановано тільки два години).

У більшості підручників алгебри ця теорема формулюється для наведеного квадратного рівняння і говорить, що якщо рівняння має коріння і, то для них виконуються рівності,. Потім формулюється твердження, зворотне до теоремі Вієта, і пропонується ряд прикладів для відпрацювання цієї теми.

Візьмемо конкретні приклади і простежимо на них логіку рішення за допомогою теореми Вієта.

Приклад 1. Вирішити рівняння.

Припустимо, це рівняння має коріння, а саме, і. Тоді по теоремі Вієта одночасно повинні виконуватися рівності

Звернемо увагу, що твір коренів - позитивне число. А значить, коріння рівняння одного знака. А так як сума коренів також є позитивним числом, робимо висновок, що обидва кореня рівняння - позитивні. Повернемося знову до твору коренів. Припустимо, що корені рівняння - цілі позитивні числа. Тоді отримати вірне першу рівність можна тільки двома способами (з точністю до порядку множників): або. Перевіримо для запропонованих пар чисел здійсненність другого твердження теореми Вієта:. Таким чином, числа 2 і 3 задовольняють обом равенствам, а значить, і є корінням заданого рівняння.

Виділимо основні етапи міркувань при вирішенні наведеного квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта:

(Першим рівністю рекомендується записувати твір коренів);

  • визначити знаки коренів рівняння (Якщо твір і сума коренів - позитивні, то обидва кореня - позитивні числа. Якщо твір коренів - позитивне число, а сума коренів - негативне, то обидва кореня - негативні числа. Якщо твір коренів - негативне число, то коріння мають різні знаки. При цьому, якщо сума коренів - позитивна, то більший за модулем корінь є позитивним числом, а якщо сума коренів менше нуля, то більший за модулем корінь - негативне число);
  • підібрати пари цілих чисел, твір яких дає вірне першу рівність в запису (*);
  • зі знайдених пар чисел вибрати ту пару, яка при підстановці в друге рівність в запису (*) дасть вірну рівність;
  • вказати у відповіді знайдені коріння рівняння.

Наведемо ще приклади.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння.

Нехай і - корені заданого рівняння. Тоді по теоремі Вієта Зауважимо, що твір - позитивне, а сума - негативне число. Значить, обидва кореня - негативні числа. Підбираємо пари множників, що дають твір 10 (-1 і -10; -2 і -5). Друга пара чисел в сумі дає -7. Значить, числа -2 і -5 є корінням даного рівняння.

Приклад 3. Вирішіть рівняння.

Нехай і - корені заданого рівняння. Тоді по теоремі Вієта Зауважимо, що твір - негативне. Значить, коріння - різного знака. Сума коренів - також негативне число. Значить, більший за модулем корінь - негативний. Підбираємо пари множників, що дають твір -10 (1 і 10; 2 і -5). Друга пара чисел в сумі дає -3. Значить, числа 2 і -5 є корінням даного рівняння.

Зауважимо, що теорему Вієта в принципі можна сформулювати і для повного квадратного рівняння: якщо квадратне рівняння має коріння і, то для них виконуються рівності,. Однак застосування цієї теореми досить проблематично, так як в повному квадратному рівнянні принаймні один з коренів (при їх наявності, звичайно) є дробовим числом. А працювати з підбором дробів довго і важко. Але все-таки вихід є.

Розглянемо повне квадратне рівняння . Помножимо обидві частини рівняння на перший коефіцієнт а і запишемо рівняння у вигляді. Введемо нову змінну і отримаємо наведене квадратне рівняння, корені якого і (при їх наявності) можуть бути знайдені по теоремі Вієта. Тоді коріння вихідного рівняння будуть. Звернемо увагу, що скласти допоміжне наведене рівняння дуже просто: другий коефіцієнт зберігається, а третій коефіцієнт дорівнює добутку ас. При певному навику учні відразу складають допоміжне рівняння, знаходять його коріння по теоремі Вієта і вказують коріння заданого повного рівняння. Наведемо приклади.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння.

Складемо допоміжне рівняння і по теоремі Вієта знайдемо його корені. А значить, коріння вихідного рівняння.

відповідь: .

Приклад 5. Розв'яжіть рівняння.

Допоміжне рівняння має вигляд. По теоремі Вієта його коріння. Знаходимо корені вихідного рівняння.

відповідь: .

І ще один випадок, коли застосування теореми Вієта дозволяє усно знайти коріння повного квадратного рівняння. Неважко довести, що число 1 є коренем рівняння, тоді і тільки тоді, коли . Другий корінь рівняння знаходиться за теоремою Вієта і дорівнює. Ще одне твердження: щоб число -1 було коренем рівняння необхідно і достатньо, щоб . Тоді другий корінь рівняння за теоремою Вієта дорівнює. Аналогічні твердження можна сформулювати і для наведеного квадратного рівняння.

Приклад 6. Розв'яжіть рівняння.

Зауважимо, що сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю. Значить, корені рівняння.

відповідь: .

Приклад 7. Розв'яжіть рівняння.

Для коефіцієнтів цього рівняння виконується властивість (Дійсно, 1 - (- 999) + (- 1000) = 0). Значить, корені рівняння.

відповідь: . .

Приклади на застосування теореми Вієта

Завдання 1. Вирішіть наведене квадратне рівняння за допомогою теореми Вієта.

Квадратні рівняння. Середній рівень.

Хочеш підготуватися до ОГЕ або ЄДІ з математики на відмінно?

Що таке квадратне рівняння?

Іншими словами, квадратне рівняння - це рівняння виду, де - невідоме,,, - деякі числа, причому.

Число називають старшим або першим коефіцієнтом квадратного рівняння, - другим коефіцієнтом, а - вільним членом.

Чому? Тому що якщо, рівняння відразу стане лінійним, тому що пропаде.

При цьому і можуть бути рівні нулю. У цьому стулчае рівняння називають неповним. Якщо ж всі складові на місці, тобто, рівняння - повне.

Рішення різних типів квадратних рівнянь

Методи рішення неповних квадратних рівнянь:

Для початку розберемо методи рішень неповних квадратних рівнянь - вони простіше.

Можна виділити типу таких рівнянь:

I., в цьому рівнянні коефіцієнт і вільний член дорівнюють.

II. , В цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.

III. , В цьому рівнянні вільний член дорівнює.

Тепер розглянемо рішення кожного з цих підтипів.

Очевидно, що дане рівняння завжди має тільки один корінь:

Число, зведена в квадрат, не може бути негативним, адже при перемножуванні двох негативних або двох позитивних чисел результатом завжди буде позитивне число. Тому:

якщо, то рівняння не має рішень;

якщо, маємо учаем два кореня

Ці формули не потрібно запам'ятовувати. Головне пам'ятати, що не може бути менше.

Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком!

Квадрат числа не може бути негативним, а значить у рівняння

Щоб коротко записати, що у завдання немає рішень, використовуємо значок порожнього безлічі.

Отже, це рівняння має два кореня: і.

Винесемо загальним множник за дужки:

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. А це означає, що рівняння має рішення, коли:

Отже, дане квадратне рівняння має два кореня: і.

Розкладемо ліву частину рівняння на множники і знайдемо коріння:

Методи вирішення повних квадратних рівнянь:

Вирішувати квадратні рівняння цим способом легко, головне запам'ятати послідовність дій і пару формул. Запам'ятай, будь квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.

Ти помітив корінь з дискриминанта у формулі для коренів? Але ж дискримінант може бути негативним. Що робити? Потрібно особливу увагу звернути на крок 2. Дискримінант вказує нам на кількість коренів рівняння.

  • Якщо, то рівняння має корені:

Такі коріння називаються дворазовими.

  • Якщо, то корінь з дискриминанта не розгорнеться. Це вказує на те, що рівняння не має коренів.
  • Чому можливо різна кількість коренів? Звернемося до геометричного змісту квадратного рівняння. Графік функції є параболою:

    В окремому випадку, яким є квадратне рівняння,. А це означає, що коріння квадратного рівняння, це точки перетину з віссю абсцис (вісь). Парабола може взагалі не перетинати вісь, або перетинати її в одній (коли вершина параболи лежить на осі) або двох точках.

    Крім того, за напрямок гілок параболи відповідає коефіцієнт. Якщо, то гілки параболи спрямовані вгору, а якщо - то вниз.

    , а значить, рішень немає.

    Використовувати теорему Вієта дуже легко: треба всього лише підібрати таку пару чисел, твір яких одно вільному члену рівняння, а сума - другого коефіцієнту, взятому з протилежним знаком.

    Важливо пам'ятати, що теорему Вієта можна застосовувати тільки в наведених квадратних рівняннях ().

    Розглянемо кілька прикладів:

    Це рівняння підходить для вирішення з використанням теореми Вієта, тому що . Решта коефіцієнти:; .

    Сума коренів рівняння дорівнює:

    А твір одно:

    Підберемо такі пари чисел, твір яких одно, і перевіримо, дорівнює чи їх сума:

    і є рішенням системи:

    Таким чином, і - корені нашого рівняння.

    Підберемо такі пари чисел, які в творі дають, а потім перевіримо, дорівнює чи їх сума:

    і: в сумі дають.

    і: в сумі дають. Щоб отримати, достатньо просто поміняти знаки передбачуваних коренів: і, адже твір.

    Вільний член рівняння негативний, а значить і твір коренів - негативне число. Це можливо тільки якщо один з коренів негативний, а інший - позитивний. Тому сума коренів дорівнює різниці їх модулів.

    Підберемо такі пари чисел, які в творі дають, і різниця яких дорівнює:

    і: їх різниця дорівнює - не підходить;

    і: - підходить. Залишається тільки згадати, що один з коренів негативний. Так як їх сума повинна дорівнювати, то негативним повинен бути менший за модулем корінь:. перевіряємо:

    Рівняння наведене, а значить:

    Вільний член негативний, а значить і твір коренів негативно. А це можливо тільки тоді, коли один корінь рівняння від'ємний, а інший позитивний.

    Підберемо такі пари чисел, твір яких одно, а потім визначимо, який коренів повинен мати негативний знак:

    Очевидно, що під перша умова підходять тільки коріння і:

    Рівняння наведене, а значить:

    Сума коренів негативна, а це значить що, по крайней мере, один з коренів негативний. Але оскільки їх твір позитивно, то значить обидва кореня зі знаком мінус.

    Підберемо такі пари чисел, твір яких одно:

    Очевидно, що корінням є числа і.

    Погодься, це дуже зручно - придумувати коріння усно, замість того, щоб вважати цей противний дискриминант. Намагайся використовувати теорему Вієта якомога частіше.

    Але теорема Вієта потрібна для того, щоб полегшити і прискоритизнаходження коренів. Щоб тобі було вигідно її використовувати, ти повинен довести дії до автоматизму. А для цього повирішувати-ка ще пяток прикладів. Але не шахраювати: дискриминант використовувати не можна! Тільки теорему Вієта:

    Рішення завдань для самостійної роботи:

    Як завжди, починаємо підбір з твору:

    - не підходить, так як сума;

    : Сума - то що треба.

    І знову наша улюблена теорема Вієта: В сумі повинно вийти, а добуток дорівнює.

    Але так як повинно бути не, а, міняємо знаки коренів: і (в сумі).

    Хм ... А де тут що?

    Треба перенести всі складові в одну частину:

    Сума коренів дорівнює, твір.

    Так, стоп! Рівняння щось не наведене. Але теорема Вієта застосовна тільки в наведених рівняннях. Так що спершу потрібно рівняння привести. Якщо привести не виходить, кидай цю затію і вирішуй іншим способом (наприклад, через дискримінант). Нагадаю, що привести квадратне рівняння - значить зробити старший коефіцієнт дорівнює:

    Відмінно. Тоді сума коренів дорівнює, а твір.

    Тут підібрати простіше простого: адже - просте число (вибач за тавтологію).

    Вільний член негативний. Що в цьому особливого? А то, що коріння будуть різних знаків. І тепер під час підбору перевіряти не суму коренів, а різниця їх модулів: ця різниця дорівнює, а твір.

    Отже, коріння рівні і, але один з них з мінусом. теорема Вієта говорить нам, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі зворотним знаком, тобто. Значить, мінус буде у меншого кореня: і, так як.

    Що потрібно зробити в першу чергу? Правильно, привести рівняння:

    Знову: підбираємо множники числа, і їх різницю повинна дорівнювати:

    Коріння рівні і, але один з них з мінусом. Який? Їх сума повинна дорівнювати, значить, з мінусом буде більший корінь.

    1. теорема Вієта використовується тільки в наведених квадратних рівняннях.
    2. Використовуючи теорему Вієта можна знайти коріння підбором, усно.
    3. Якщо рівняння не наводиться або не знайшлося жодної відповідної пари множників вільного члена, значить цілих коренів немає, і потрібно вирішувати іншим способом (наприклад, через дискримінант).

    3. Метод виділення повного квадрата

    Якщо всі складові, що містять невідоме, представити у вигляді доданків з формул скороченого множення - квадрата суми або різниці - то після заміни змінних можна уявити рівняння у вигляді неповного квадратного рівняння типу.

    У загальному вигляді перетворення буде виглядати так:

    Нічого не нагадує? Це ж дискриминант! Саме так, формулу дискримінанту так і отримали.

    Хочеш перевірити свої сили і дізнатися результат наскільки ти готовий до ЄДІ або ОГЕ?

    Поширення матеріалів без узгодження допустимо при наявності dofollow-посилання на сторінку-джерело.

    Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

    Збір і використання персональної інформації

    Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.

    Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.

    Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

    Яку персональну інформацію ми збираємо:

    • Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо

    Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

    • Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
    • Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
    • Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
    • Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

    Розкриття інформації третім особам

    Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

    • У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
    • У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.

    Захист особистих даних

    Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

    Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

    Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

    Ваш коментар прийнятий, після модерації він буде опублікований на даній сторінці.

    Хочете дізнатися що приховано під катом і отримувати ексклюзивні матеріали по підготовці до ОГЕ і ЄДІ? Залиште e-mail

    Хочете відкрити всі приховані тексти в підручнику? Придбайте підписку і тексти будуть відкриті до дати іспиту. Вартість передплати 499 руб

    Після того, як ви уважно вивчите, як вирішувати квадратні рівняння звичайним чином за допомогою формули для коренів можна розглянути інший спосіб вирішення квадратних рівнянь - за допомогою теореми Вієта.

    Перед тим, як вивчити теорему Вієта, добре потренируйтесь у визначенні коефіцієнтів «a», «b» і «с» в квадратних рівняннях. Без цього вам буде важко застосувати теорему Вієта.

    Коли можна застосувати теорему Вієта

    Чи не до всіх квадратних рівнянь має сенс використовувати цю теорему. Застосовувати теорему Вієта має сенс тільки до наведеними квадратних рівнянь.

    Наведене квадратне рівняння - це рівняння, в якому старший коефіцієнт «a = 1». У загальному вигляді наведене квадратне рівняння виглядає наступним чином:

    Зверніть увагу, що різниця зі звичайним загальним видом квадратного рівняння «ax 2 + bx + c = 0» в тому, що в наведеному рівнянні «x 2 + px + q = 0» коефіцієнт «а = 1».

    Якщо порівняти наведене квадратне рівняння «x 2 + px + q = 0» зі звичайним загальним видом квадратного рівняння «ax 2 + bx + c = 0», то стає видно,

    що «p = b», а «q = c».

    Тепер давайте на прикладах розберемо, до яких рівнянь можна застосовувати теорему Вієта, а де це не доцільно.

    1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Пока оценок нет)
    Загрузка...
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    36 − = 32

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

    map